I. — Quelques remarques générales. Arcs analytiques

1. Nous avons dt^jà indiqué (t. I, p. 4^9) les propriétés élémentaires de la représentation conforme; nous voulons maintenant nous occuper particulièrement de la représentation conforme d^une aire donnée sur une autre aire également donnée. Mais, avant d'aborder ce problème, faisons quelques remarques générales.

Soit

/(z) étant une fonction holomorphe dans le voisinage de z =z a et /'(fl) étant différent de zéro; en posant/(fl) = 6, d'après le théorème démontré (Chap. IX, § 9), on peut, autour de a et 6 comme centres, décrire, dans les plans respectifs des variables z et Z, des cercles v et Y tels que, pour une valeur de Z contenue dans F, l'équation [\^ n'ait qu'une seule racine :; contenue dans ^î de plus, la fonction implicite z est une fonction holomorphe de Z dans F. Aux points z de y pourront correspondre des points Z en dehors de F; réduisons alors la région dans le plan z^ en prenant un cercle y, concentrique à y, tel qu'à tout point de Fintérieur de y, corresponde un point Z situé dans F. Ceci posé, si à Fintérieur dey, on décrit une courbe fermée c, ne se coupant pas elle-même, il lui correspondra dans le plan F une courbe fermée C et l'on aura une représentation conforme l'une sur l'autre des deux aires limitées par o et C. Cette représentation sera telle qu^à chaque point de rune queleonque îles deux aires correspondra un seul point tie l\nitre. La chose est évidente, puisque, d'après ce qui

a été dit, à deux points différents z ne peut correspondre la même valeur de Z.

2. Il nous faut maintenant définir ce qu'on appelle un arc de courbe analytique. Supposons qu'une courbe soit telle que les coordonnées j: et^ d'un point arbitraire soient des fonctions analytiques d'un paramètre t

/{l) et 'f (<) sont supposées des fonctions holomorphes de t dans le voisinage de la valeur réelle t = t^, les coefficients du développement en série suivant les puissances de ^ — ^o étant, bien entendu, réels. Nous dirons que cet arc est analytique; de plus, cet arc analytique sera régulier au point correspondant à 1^=1^^ si Ton a pu choisir le paramètre tj dont dépendent analytiquement x et y, de telle sorte que

f\to) et ç'('o)

ne soient pas nuls à la fois. Un arc déterminé a^ sera dit régulier, s'il est régulier en tous ses points.

La notion d'arc régulier joue un rôle important dans les questions relatives à l'extension des fonctions harmoniques. Ainsi, soit un contour fermé C, et admettons qu'une portion a^ de ce contour forme un arc régulier de ligne analytique. On se donne sur le contour une succession de valeurs, et l'on suppose que l'ensemble des valeurs données le long de l'arc déforme une fonction analytique du paramètre t. Dans ces conditions, nous allons démontrer le théorème suivant dû à M. Schwarz :

La fonction harmonique prenant les valeurs données sur le contour peut se prolonger analytique ment au delà de Varc a,3.

3. Nous établirons d'abord deux cas particuliers de ce théorème. Supposons que l'arc aj3 se réduise à un segment de l'axe des x^ et que les valeurs données le long de a^ se réduisent à zéro. D'un point x^ de a^ décrivons une demi-circonférence y contenue dans l'intérieur de l'aire i^fig' 29). La fonction harmonique u que nous étudions prend certaines valeurs le long de v. Or coin-

piétons la demi-circonférence y par la demi-circonférence V symétrique par rapport à Ojt. Formons maintenant la fonction bas*

yy

moniqiie r, continue à l'intérieur du cercle limité par y et Y^ prenant sur y les mêmes valeurs que u et prenant, en chaque point de y', une valeur égale et de signe contraire à la valeur de u au point symétrique par rapport à 0.r qui lui correspond sur y. Il est aisé de voir que la fonction v ainsi définie s'annule sur le diamètre Ox\ c'est ce que montre la formule de Poisson

puisque, d'après nos hypothèses,

La fonction v et la fonction u prennent donc les mêmes valeurs sur la demi-circonférence y et sur son diamètre Ox. La fonction u coïncide donc avec r; v est une fonction harmonique définie dans tout le cercle limité par y et y. 11 en résulte que 1/ peut se prolonger analytique ment au delà de Ox, comme nous voulions l'établir.

Examinons maintenant le cas moins particulier où, Tare a^ étant toujours un segment de Taxe de x^ les valeurs données le long de aj3 Ibrment une fonction analytique de x. Soit, dans le voisinage de Xq,

/(a-) .- ao-+- ai(.r — o^o) -r- aj(a: — a?o)*-r-. • .

la valeur de cette fonction. La fonction

sera une fonction holomorphe de :; dans le voisinage de ;; = jr©*

Mettons-la sous la forme

/(5)==P(T,7)4-fQ(^,7).

Soit, d'autre part, notre fonction harmonique u(x^y) satisfaisant au problème proposé. La différence

sera une fonction harmonique s'annulant sur Taxe des x dans le voisinage de Xq. On pourra donc, d'après ce qui vient d'être établi, la prolonger analjtiquement au delà de l'axe des x. Or P(jr, y) est définie des deux côtés de cet axe, il en est, par suite, de même de u{x,y) dont le prolongement analytique devient dès lors évident.

Nous arrivons enfin au cas général qui va se ramener au cas précédent. Nous avons, pour définir l'arc a^ dans le voisinage d'un de ses points (xq, yo),

X = xo-t- a{t — /o) -+- «'(' — '0 )'-+-• • •♦ r =ro+ h(^t — t^) -^ h\t — UY-\- , . ,,

les coefficients a et 6 n'étant pas nuls tous deux. On peut effectuer une transformation conforme qui transforme une petite aire, autour du point (^o?J^o) <laï^s la figure proposée, en une autre où la courbe correspondant à l'arc a^3 sera un segment de l'axe des quantités réelles. Il suffit, en effet, de faire la transformation conforme entre ^ et T représentée par

Le coefficient a -\- ib n'étant pas nul, nous sommes assuré qu'à une petite région du plan z :=z x -\- «y (autour du point 5o = Xq-\- iyo)i traversée par l'arc a^, correspondra, dans le plan de la variable complexe T, une région autour du point to situé sur l'axe réel, et cet axe réel correspondra à l'arc a^. Nous sommes donc ramené au second cas particulier que nous avons examiné ci-dessus. La fonction harmonique de j: et j^ que nous étudions se transforme en une fonction harmonique de t et t\ en posant T = t -{- it' ', les valeurs qu'elle prend sur le segment de l'axe des ^, où nous avons à la considérer, forment une fonction analytique de / : on peut donc étendre ana-

lytiquement la fonction au delà de Taxe des /, et, par suite, en revenant à la figure primitive, au delà de Tare a^.

i. Un cas particulièrement simple et intéressant est celui d'un contour fermé C qui, pris dans son ensemble, forme un seul arc régulier de ligne analytique : tel est le cas d'un cercle ou d'une ellipse. Si les valeurs données sur ce contour forment, dans le voisinage de chaque point, une fonction analytique du paramètre, en fonction duquel on peut exprimer les coordonnées d'un point de la courbe, la fonction harmonique prenant ces valeurs sur le contour pourra être étendue au delà de cette courbe et sera nécessairement déterminée dans un certain contour G comprenante son intérieur le contour C et en étant suffisamment rapproché.

Un contour C peut être formé de plusieurs arcs réguliers de lignes analytiques, comme par exemple un contour polygonal. Les sommets, c'est-à-dire les points communs à deux de ces lignes analytiques, sont des points autour desquels on n'est pas assuré de pouvoir faire le prolongement analytique de la fonction; il arrivera même, en général, que ce prolongement analytique sera impossible. Ainsi, dans le cas actuel, le prolongement analytique de la fonction harmonique est possible en tous les points du contour, sauf aux sommets.