II. — Représentation conforme d'uie aire simple

sur un cercle.

5. Une des applications les plus intéressantes que Riemann ait faite du principe de Dirichlet est relative à la représentation conforme d'une aire limitée par un seul contour (ou simple) sur la surface d'un cercle (*). Ainsi, élant donnée une aire simple A limitée par un contour C, dans le plan de la variable z^ et un cercle dans le plan de la variublc Z, nous allons montrer qu'on peut trouver une fonction analytique uniforme

lellc qu'à chaque point de A corresponde un point du cercle et

( ' ) Riemann, Dissertation inaugurale ( Œuvres complètes, p. 4o ).

qu'inversement à chaque point du cercle corresponde un point et un seul de A.

Admettons l'existence de la fonction précédente : nous supposons que le cercle ait l'origine pour centre et l'unité pour rayon, et de plus que le centre du cercle corresponde au point Zq de

Taire A, c'est-à-dire que

Zq étant une racine simple de cette équation.

De la définition même de la représentation conforme résulte que /{z) n'a pas d'autre racine à l'intérieur de l'aire A et sur son contour C : par suite, cette fonction est nécessairement de la forme

H{z) étant une fonction holomorphe à l'intérieur de Taire A, qu'il s^agit de déterminer. Posons

H{-3) = P-h«Q et z — Zo=rei9; on peut alors écrire /(.g) sous la forme

/(z) = e''OK'^P-»-'<Q-»-?),

où Logr désigne le logarithme arithmétique de r ou de |z — Zq |. Pour qu'à chaque point du contour C, dansle plan des s, corresponde un point de la circonférence de rayon un dans le plan des Z, il faut que la fonction Logr -h P s'annule sur le contour C. Donc P est une fonction harmonique uniforme et continue dans toute l'aire A et prenant sur C la succession de valeurs indiquée par la fonction

— Logr.

Nous pouvons, d'après le principe de Dirichlet, former une fonction harmonique ainsi définie, et la fonction Q, qui est la fonction associée de P, est alors déterminée par l'intégrale

r^'^dP dP

^dP

où Y désigne une constante arbitraire.

6. Nous connaissons donc, une fois fixé le point Zq de A qui P. - II. 18

doit correspondre au centre du cercle, la forme nécessaire de la fonction H(^) et, par suite, de la fonction de transformation.

Partant maintenant a priori de l'expression précédente, montrons qu'elle donne bien la transformation cherchée. Soit

U = P-hLogr,

on suppose qu'on donne une valeur déterminée à la constante arbitraire y qui entre dans l'expression de Q.

La fonction harmonique U sera nulle sur C, égale à — oc au point ^0 6t continue en tout autre point de l'aire; elle sera donc négative pour tous les points de A. Les courbes

seront des courbes fermées ne se coupant pas elles-mêmes et séparant la région de l'aire A où P >> a de celle où P -< a ; elles comprennent Zq à leur intérieur. Tout cela résulte des propriétés des fonctions harmoniques : la courbe (2) contient Zo à son intérieur, sinon la fonction U, constante sur la courbe, serait constante à son intérieur et, par suite, dans toute l'aire; pour la même raison également la courbe ne se coupe pas elle-même. A la courbe (2) correspond, parla transformation

dans le plan Z, la circonférence de rayon e^ ayant l'origine pour centre. Nous allons voir qu'à un point de cette circonférence correspond un point et un seul de la courbe (2). Des deux relations

dU

dy

dx

-dy

dV

dy

dx

ine

courbe f

dV

dn

ds'

on déduit, relativement à une courbe fermée quelconque,

la dérivée ^ étant prise dans le sens de la normale intérieure et

~T- représentant la dérivée de V considéré comme fonction de l'arc s de la courbe, cet arc étant compté positivement dans le sens direct. Or, sur la courbe (2), -^ est constammentnégatif, par suite

-T- est toujours positif. La fonction V(:r,^) va donc constamment

en croissant quand le point (^, jk) marche sur la courbe (2) dans le sens positif, et puisque, dans Fexpression

cp a augmenté de 2 7r après un tour complet, il en est de même de V. Il en résulte que le point Z correspondant à z décrit d'une manière continue, toujours dans le même sens, le cercle de rayon e^. A un point Z de cette circonférence correspond donc un point et un seul de la courbe (2). Nous voyons maintenant bien nettement qu'à un point Z du cercle de rayon un, dans le plan de la variable Z, correspond un point ;:; et un seul dans Taire A. A un point Z correspond, en effet, une valeur déterminée de a : c'est

celle pour laquelle

On a alors dans le plan z une courbe (2) et sur celle-ci, comme nous venons de le dire, un point et un seul correspond à Z. On voit qu'il reste dans la fonction employée pour la transformation une indéterminée réelle, la constante y; elle sera déterminée si l'on se donne le point du contour G qui devra correspondre à un point de la circonférence.

7. Le problème de la représentation conforme de l'aire A sur un cercle est complètement résolu par la formule

c'est-à-dire qu'à chaque point de l'intérieur d'une quelconque de ces deux aires correspond un point et un seul de l'intérieur de l'autre. Relativement aux points du contour G et de la circonférence du cercle, une difficulté se présente dont Riemann ne paraît pas s'être préoccupé. Revenons, en effet, aux deux fonctions P et Q qui ont joué le rôle essentiel. La fonction P{x,y) est définie à l'intérieur de l'aire A et sur le contour G lui-même.

mais il n'en est pas de même de la fonction associée Q. est, en effet, définie par Tintégrale

'^dP ^ dP ,

dx -^ ày

et nous ne savons rien, du moins en général, sur les val

T— et T- sur le contour L. Ln s en tenant aux raisonnerac

ox ày

précédents paragraphes, on ne peut donc rien affirmer sui respondance des points des contours limitant les deux air< Dans un cas particulier, d'ailleurs très étendu, la di se lève immédiatement. Supposons d'abord que le contou: formé tout entier d'un seul arc régulier de ligne analjtiqi ellipse, par exemple). Comme la succession des valeurs

par

- Logr,

que prend P(^, y) sur C, est une fonction analytique de elle est aussi une fonction analytique du paramètre avec on exprime analytiquement les coordonnées d^un point Nous pouvons donc faire usage de la remarque du § 4; l tion V{x^y) peut s'étendre un peu au delà de C : les d

T— et T— sont, par suite, déterminées pour tous les points c

il en est alors de même de Q(j:, j^). La difficulté est levée sommes assurés de la correspondance unique entre les po; contour C et de la circonférence.

Si l'on a un contour formé de plusieurs arcs réguliers d analytique, la question est un peu moins simple. La f( V{x^y) pourra bien s'étendre au delà de tous les points d tour, mais à l'exclusion des sommets (*). Nous allons mont core que les différents points de C correspondent à des différents de la circonférence. 11 suffira de considérer u tour C présentant une pointe unique A. Envisageons les c

C) On ne doil pas oublier qu'un point du contour, où se rencontre lignes analytiques diiïcrenles tangentes entre elles, est, dans dos raisooi à considérer comme un sommet.

et leurs trajectoires orthogonales parlant de deux points a et ^ de C situés de part et d'autre de A. Pour une valeur de a négative et très petite, nous aurons une courbe voisine de A, qui rencontrera en a' et P' les deux trajectoires orthogonales.

Considérons alors, au lieu du contour C (^fig» 3o), celui qu'on

obtient en remplaçant l'arc aA^ par les arcs aa', a'^', ^^. Les fonctions P et Q et, par suite, U et V, sont parfaitement définies en tous les points de ce contour, ainsi que leurs dérivées du premier ordre. Dans le plan Z va correspondre à ce contour une portion déterminée de la circonférence de rayon un et un arc intérieur. Or, en se servant toujours de la relation

dn ds

et en remarquant que, sur aC^p'a'a, -r- est toujours négatif ou

nul (cette dérivée est nulle sur les portions aa', pp' des trajectoires orthogonales), on voit que les points Z de la circonférence de rayon un, correspondant aux différents points de l'arc aCp de C, sont eux-mêmes différents : ils forment un arc F. Faisons tendre maintenant a et ^ vers A; l'arc F ira toujours en grandissante mesure que a et ^ se rapprocheront respectivement de A. Nous allons montrer que la limite de F formera la circonférence tout entière, c'est-à-dire qu'il ne peut pas arriver que la limite de F soit un arc dont les extrémités a et 6 ne coïncident pas. En effet, dans ce cas, un certain arc ab de la circonférence de ravon un correspondrait au point A; en d'autres termes, z considérée comme fonction de Z serait une fonction holomorphe à l'intérieur du cercle de rayon un et, quand Z tend vers un point quelconque

de Tare ai, z tendrait toujours vers la même constante. Or ceci est impossible : nous le montrerons bien nettement en nous reportant aux théorèmes généraux établis au commencement de ce Chapitre. Si l'on pose, en effet,

z = ^(X, Y) -h i^{Xy Y) Z = X -f- tY),

les deux fonctions harmoniques o ei ^ prenant des valeurs constantes en tous les points de ab pourront se prolonger analjliquement au delà de ab (§ 3); la fonction z de Z pourra donc se prolonger analytiquement au delà de Tare «6, mais comme elle est, par hypothèse, constante en tous les points de ab, elle devra être constante dans toute la région où elle est définie, ce qui est absurde. On voit donc qu'au point A de C correspond un seul point de la circonférence de rayon un. Il y a donc bien correspondance unique entre les points des deux contours,

M. Painlevé (*) s'est occupé, dans l'étude de la représentation conforme pour les points du contour, du cas où celui-ci n'est pas formé de lignes analytiques. Nous renverrons à l'intéressant article du savant géomètre; les considérations délicates dont il fait usage nous entraîneraient trop loin.

III. — Quelques exemples de représentation conforme. Méthode de M. Schi^v-arz pour le principe de Dirichlet.

8. Indiquons quelques exemples de représentation conforme, où nous pourrons effectuer la transformation à Taide de fonctions déjà étudiées.

Il sera généralement plus simple de considérer, au }ieu d'un cercle, un demi-plan, c'est-à-dire la portion d'un plan située du même côté d'une droite indéfinie. Ces deux aires se ramènent immédiatement l'une à l'autre; nous avons vu, en effet (t. I, p. 436), qu'une transformation

az -î~ b

Zrz.

cz

transforme une circonférence en une circonférence, et, par con-

(') P. Painlevé {Comptes rendus, t. CXII; 1891).

séquent, une ligne droite en une circonférence. Les points d'un demi-plan, dans le plan des ^, correspondront donc aux points d'un cercle dans le plan des Z.

Cherchons à effectuer sur un demi-plan la représentation conforme d'une aire A limitée par deux arcs de cercle. Soient Zq et Zi les deux sommets de cette aire, et air l'angle des deux tangentes en /3q ei a^i •

La transformation

ÔL

va nous permettre de faire la représentation conforme de l'aire A sur un demi-plan. Nous supposerons, pour simplifier, que Zo et Zi soient réelles; z étant à l'intérieur de l'aire, nous pouvons prendre pour argument de

z — Zi

l'angle ZoZZt compté de Zq en z^ (cet angle sera compris entre o et ir quand z sera au-dessus de Ox, et il sera compris entre tz et 9.T:, si z est au-dessous de cette même ligne). On voit de suite qu'à chacun des deux arcs de cercle limitant A correspond dans le plan Z une demi-droite issue de Torigine, puisque l'angle .So'S^i est constant sur chacune de ces deux lignes. De plus, la différence des arguments de (4) sur chacune de ces deux lignes sera égale à l'angle des deux circonférences, c'est-à-dire à air. Les deux demidroites feront donc entre elles un angle égal à i:, c'est-à-dire qu'elles seront sur le prolongement l'une de l'autre. 11 est alors évident que l'aire A correspond à l'un des deux demi-plans déterminés par cette droite indéfinie.

En particulier, considérons un demi-cercle; on aura a = - et la

transformation cherchée sera réalisée par la formule

\Z—Zi/

Considérons encore l'aire d*un secteur et cherchons à en faire la représentation conforme sur un demi-plan. Il suffira de transformer d'abord le secteur en un demi-cercle, ce qui se réalisera par

28o CHAPITRE X.

la formule

si aTt désigne l'ouverture d'angle du secteur.

9. Faisons maintenant une remarque générale avant d'aborder des cas un peu moins simples. Soit Z =/(z) une fonction bolomorphe à l'intérieur de l'aire limitée par un contour simple (c) sur le plan des z, et supposons que, sur ce contour, la fonction prenne une série de valeurs toutes différentes et formant une suite continue. Au contour (c) correspond alors, dans le plan des Z, un contour simple (C) ne se coupant pas, et tel, par conséquent, que la variation de l'argument de Z — Z' soit nulle ou égale à 2 7r, suivant que le point Z' est extérieur ou intérieur à ce contour, lorsque le point Z décrit le contour (C).

Cela posé, soit ^'un point de l'aire limitée par le contour (c) et Z' =/(z') le point, correspondant dans le plan des Z : lorsque le point z décrit le contour (c), le point Z décrit le contour (C), et l'argument de la fonction /( -3) — f{^') est, à chaque instant, iden tique à l'argument de Z — Z'. Par suite, la variation de Targumen def(z) — f{z') ne peut être égale qu'à zéro ou à 27c. Or elle es différente de zéro puisque le point z = z' est une racine de 1 fonction /(;;) — /(^') : donc elle est rigoureusement égale à aie— On en conclut immédiatement qu'à tout point z^ pris à l'intérieu de (c) correspond un point Z' intérieur au contour (C) et un seul et que, réciproquement, à tout point Z' intérieur au contour (C correspond un point z' intérieur au contour (c) et un seul.

10. Un exemple intéressant sera fourni par la considération d( l'intégrale elliptique

(5) Z=f'~==dL===,

k étant réel et compris entre o et i , et la détermination initiale du radical étant -f- 1 . Envisageons, dans le plan de la variable 5, 1 demi-plan situé au-dessus de Ox, et évitons les points critiquer

di I, ih T au moyen de demi-circonférences infiniment petites dé-

SUR LÀ REPRÉSENTATION CONFORME. a8l

crites au-dessus de Ox. Cherchons, dans ces conditions, quelle va être Taire du plan Z correspondant à ce demi-plan : z allant de o à I , en étant réel, Z décrira la droite allant de Torigine au point K;

ensuite, quand >3 va de i à t> en ayant évité le point i par une demicirconférence située au-dessus de O x, le point Z décrit la droite allant de K à iK.' -f- R ; enfin, z allant de t à -f- oo, Z suit la droite

allant de iK' -|- Kà/K'. En faisant aller z de o à — oo, on voit de la même manière que Z décrit un contour symétrique du premier par rapport à OY(Z = X -4- /Y). Il en résulte qu'à Taxe des x dans le plan des z correspond dans le plan Z le périmètre d'un rectangle R de côté 2 K et de hauteur R'.

Il nous suffit maintenant de remarquer qu^aux différents points de Taxe réel et au point à l'infini du demi-plan correspondent des valeurs de Z toutes différentes. On peut alors appliquer au problème actuel la remarque du paragraphe précédent, puisque la fonction Z est holomorphe à l'intérieur du contour simple formé par l'axe réel, par les demi-circonférences infiniment petites décrites au-dessus de Ox pour éviter les points critiques, et par une circonférence de rayon infiniment grand. Nous pouvons donc conclure que la formule (5) permet de faire la représentation conforme du demi-plan sur le rectangle R.

11. Cherchons encore à représenter d'une manière conforme un triangle sur un demi-plan. Nous partirons à cet effet de l'intégrale

Z= r (z — a)^'i(z — b)?-i(z — c)'r'idz (a<b<c);

rt, 6, c désignent trois constantes réelles, les quantités a, p, y sont des quantités positives telles que

enfin :;o est une constante dans laquelle le coefficient de i est positif. On considère, dans le plan de la variable >3, le demi-plan situé au-dessus de l'axe des x. L'intégration est faite dans ce demi-plan, et, quand on intègre le long de l'axe réel, on évite les points critiques a, b, c par des demi-circonférences infiniment petites situées au-dessus de Ox.

Dans ces condilioDs, cherchons quelle est la portion du plan Z correspondant au demi-plan. Quand z varie entre deux des points critiques, soit, par exemple, a et ft, en suivant Taxe des j?, l'intégrale

(;;-a)«-l(Z— 6)P-1(^ — C)Y-*rf5

aura visiblement un argument invariable, c'est-à-dire que le point Z décrira un segment de droite AB, et, z marchant dans le même sens de a k b, le point Z marchera aussi dans le même sens de A en B, puisque la dérivée de Z ne peut s'annuler quand z est compris entre a et b. Ce que nous venons de dire de a à 6 s'applique à rintervalle de 6 à c, auquel correspond BC; mais, quand z décrit un demi-cercle infiniment petit autour de ft, Targument de {z — &)?~* a diminué de

les deux directions BA et BG font donc un angle égal à ^ic; avec plus de précision, une rotation de ^tc dans le sens négatif amène la direction BA sur la direction BC. Si maintenant z va de c à -f- 00, Z décrira un segment de droite CC, partant de C et faisant avec lui un angle"]'?: et CC'est tellement placé que la direction CB coïncide avec CC par une rotation de yn dans le sens négatif. Remarquons maintenant que, de quelque manière que z aille à l'iniini dans le demi-plan, Z tend toujours vers C; de plus, en appelant jji' l'affixe de C, on a pour z très grand le développement

(AiP^o),

conséquence immédiate de la relation a -+- p -h y = i . L'argument de Z — |i.' augmente donc de — tz quand z passe de -h oo à — 00, et il en résulte que, z variant de — 00 à a, le point Z décrit le segment rectiligne C'A qui est le prolongement de CC Nous arrivons ainsi à la conclusion suivante: Le périmètre du triangle ABC correspond à Vaxe réel du plan z,

Mous n^avons plus maintenant qu'à appliquer la remarque du § 9 pour en conclure que le demi-plan correspond uniformément

kr

Il H- -

à l'aire du triangle ABC au moyen de la transformation

Z=r f {z — a)*-^{z^b)?-^(z — c)y-idz.

Nous savons donc faire la représentation conforme sur un demiplan d'un certain triangle dont les angles sont égaux à aTc, ^tc et yrz. Tout triangle étant semblable à un tel triangle pour des valeurs convenables de a, p, y, il en résulte que le problème de la représentation conforme d'un triangle sur un demi-plan est complètement résolu.

12. On peut d'une manière plus générale considérer la transformation

où (I, by . . ., / sont m constantes réelles; a, p, . . . , a sont des quantités positives telles que

et -Go est encore une constante dans laquelle le coefficient de i est positif. Quelle sera la portion du plan Z correspondant au demiplan supérieur du plan des z? On verra, comme dans le cas du triangle, qu'à l'axe Ox correspond une ligne polygonale fermée, et les angles, comptés comme précédemment, que font entre eux les divers côtés de cette ligne sont respeclivemcnl

OLTZ, uTT^ .... Ait.

La ligne polygonale fermée limitera une certaine aire. Celle-ci

Fig. 3i.

fi

sera nécessairement connexe comme celle du demi-plan, c'està-dire qu'on pourra passer d'un point à un autre de l'aire eu res-

tant à son intérieur; en d^autres termes encore, Taire limitée par la ligne brisée ne pourra se fractionner en plusieurs autres aires polygonales n'ayant que des sommets communs. Ainsi, pour le cas de m = 4, on ne pourra avoir la conGguration ci-contre représentée par ABCDA {fig> 3i).

Il est important de remarquer, et c'est ici une différence avec le cas du triangle, qu'à une valeur de Z ne correspond pas d'une manière nécessaire une seule valeur de z ou, en d'autres termes, que la série des valeurs que prend la fonction Z sur l'axe réel et à l'infini ne forme pas nécessairement une suite de valeurs toutes différentes. L'aire polygonale peut, en effet, se recouvrir partiellement elle-même; c'est ce qu'indique \^ fig^ Sa. L'aire limitée

par la ligne polygonale ABGDEFGH se recouvre partiellement elle-même j on voit bien en effet que la partie ombrée appartient deux fois à Taire polygonale. A une valeur de Z répondant à un point de cette partie ombrée correspondront deux valeurs de z. Nous n'insisterons pas davantage sur cette question de la représentation conforme d'un polygone rectiligne sur un demi-plan. La forme de la fonction à employer pour cette représentation conforme et dont nous venons de faire usage a été obtenue par M. Schwarz et par M. Ghristoffel. Quand à la détermination effective des constantes a, 6, ..., / pour un polygone donné, elle n'est pas sans présenter quelques difficultés; nous y reviendrons dans la théorie des équations aux dérivées partielles ('). Nous

(') On consultera, sur ce sujet, un Mémoire de M. Schlaffli : Zur Théorie der conformen Abbildung {Journal de Crelle, t. 78).

aurons à éludier aussi plus tard la représentation des aires limitées par des arcs de cercle, qui se rattache à la théorie des équations linéaires du second ordre (').

13. Je terminerai ce qui a trait à la représentation conforme en considérant un cas très simple relatif à deux aires limitées par plusieurs contours. Deux aires A et A' limitées chacune par un seul contour peuvent être représentées d'une manière conforme Tune sur l'autre : on peut, en effet, faire la représentation conforme de chacune d'elles sur une circonférence et cet intermédiaire permet de réaliser la transformation cherchée. Des circonstances toutes différentes se présentent pour les aires limitées par plusieurs contours; deux aires A et Ai, limitées chacune par un même nombre de contours, ne peuvent pas, en général^ être représentées d^une manière conforme V une sur Vautre, L'étude approfondie de ce nouveau problème a été faite par M. Schottkj dans un beau et important Mémoire (*); cette intéressante question se rattache étroitement à l'étude de la correspondance entre les points de deux courbes algébriques, et nous nous en occuperons quand nous aurons tous les éléments nécessaires pour la résoudre.

En ce moment, je ne prends qu'un cas extrêmement particulier, sur lequel nous nous sommes appuyé au Chap. IV.

^établissons entre le plan des z et le plan des Z la correspondance

c désignant une constante positive. A une valeur de :; correspond

une seule valeur de Z ; mais à une valeur de Z correspondent les

deux valeurs

(•) Voir, sur ces questions, le tome II des Mémoires de M. Schwarz, où l'on trouvera encore beaucoup d'autres exemples de représentation conforme. On lira aussi dans le Tome I des Leçons de M. Darboux le Chapitre qu'il consacre à cette théorie.

(') SciioTTKY, Conforme Abbitdun g mehrfach zusammenhàngender ebener Flàchen {Journal de Crelle, t. 83).

entre lesquelles existe la relation z' z"-^c'^. Considérons le cercle

Fig.

iC*),-'-