cl

on peut, en choisissant pour le radical yZ^ — c^ une détermination convenable, supposer que le point z' est extérieur à la circonférence (C); le point z^ est alors intérieur à cette circonférence, el on Tobtient en prenant l'inverse du symétrique du point z* par rapport à l'axe des x relativement à la circonférence (C).

Supposons que le points décrive dans le plan des^ une circonférence de rayon r et de centre O, et cherchons la ligne que le

point Z NU décrire dans son plan {fig* 34). On aura, en posant

•x{\ -*- t Y ) = / r H — -\ cos o H- i ( r — ; ) sin o.

et, par suite, la courbe décrite par le point Z sera Tellipse

t les fojers F et F' sont les points -^ cet — c dans le plan des Z. lo JQC à la série des cercles ayant Torigine pour centre dans le plan ^^ z correspond une série d'ellipses homofocales dans le plan ^ ^ Z et inversement. Mais, tandis qu'à un cercle dans le plan des z :>mrT'espond une seule ellipse dans le plan des Z, à une ellipse E is le plan des Z correspondent deux cercles (C) et (G") dans »lan des z, dont les rayons sont liés par la relation /•'/•"= c^ : est par conséquent extérieur au cercle (C) et l'autre intérieur, 'sque le point Z décrit l'ellipse E, les points z' et z" décrivent î^KJCfeultanément ces deux cercles en sens inverse, avec des argut^ ^ nts à chaque instant égaux et de signe contraire.

IjOrsque, r partant de zéro augmente jusqu^à c, l'ellipse E par-

^^*xi de l'infini balaye tout le plan des Z en s'aplatissant et se ré-

"^^îsantpour r = c à la droite double FF'. Si l'on continue ensuite

* ^^ire varier r de c à l'infini, on balaye de nouveau tout le plan

^^s Z en repassant par la même série d'ellipses dont les dimensions

^^^m sans cesse en augmentant. Donc au plan Z tout entier cor-

ï'^spond, d'une part la portion du plan des z extérieure à la circon-

^^Tence Cet d'autre part la portion du plan des z intérieure à cette

Circonférence.

Bornons-nous, pour fixer les idées, à la partie du plan z extérieure à C ; nous partirons de la correspondance

On suppose tracée dans le plan Z la coupure ( — c, 4- c) que Z ne devra pas franchir; la fonction y/Z^ — c'^ est alors uniforme et on la suppose positive quand Z est réel et supérieur à c. La formule précédente fait correspondre le plan Z, où est tracée la coupure ( — c, 4- c), à la partie du plan z extérieure à C. En particulier, l'aire comprise entre deux ellipses homofocales de foyer ( — c, 4- c) se trouve transformée en une aire limitée par deux circonférences. Il en résulte que le problème de Dirichlet peut être facilement résolu pour deux ellipses homofocales, puisqu'il se résout très simplement pour deux circonférences concentriques. L'une des ellipses homofocales peut se réduire à la droite joignant les deux foyers; c'est de ce cas particulier que nous avons fait usage en exposant la méthode de M. Poincaré (p. 97).

CHAf'ITIE X.

1 1. On peut, du mode de correspondance précédent, dédaiit, à l*aide du théorème de Laurent, une forme de développement en >érie pour une fonction de y(z)ho]omorphe dans l'aire comprise entre deux ellipses homofocales. Il sufRra d^énoncer les résoltats que le lecteur démontrera sans peine. On aura d'abord de suite \e développement

de r ce

les a étant des constantes. Un cas particulier intéressant est c où la fonction /(z) est holomorphe à Tintérieur d'une ellipse" fojers ( — r, -r- c): on peut facilement montrer que l'on a dan^^ cas

et Ton trouvera alors le développement

P,«(w) désignant le polynôme d'ordre m

Une fonction holomorphe, à Tintérieur d'une ellipse, se Irc^ ainsi développée en une série de polynômes. Pourc=o, on tombe sur le développement de Tajlor.

15. Nous reviendrons une dernière fois, en terminant ce C pitre, sur le problème de Dirichlet, qui nous a déjà occupé d cet Ouvrage, pour indiquer la méthode de M. Schwarz ( * ). En une partie do celte méthode a été exposée quand nous avons p du procédé alterné (p. 77); nous allons avoir à en faire us» M. Schwarz ramène la solution au problème de la représentât conforme; on sait, en effel, résoudre le problème de Dirichlet p loulc aire dont on a fait la représentation conforme sur un cerC^

Nous nous bornerons au cas où le contour serait formé d'

lé

le.

( ' ) Tome II des Œuvres complètes de M. Schwarz (p. i44)-

liers de lignes analeptiques faisant entre eux des angles difTé- I de zéro (*). 11 suffit évidemment de montrer que nous ons décomposer l'aire S limitée par ces arcs en un nombre é d'aires partielles représentables sur le cercle et empiétant nés sur les autres, car alors le procédé alterné donnera la so-

ir un arc régulier de ligne analytique nous pouvons prendre rc assez petit a^ pour qu'une représentation conforme (§ 3) forme a^ en un segment de droite a'p' dans le plan de la vae z'. En joignant a' et ^3' par un arc de cercle, on aura dans le z une aire limitée par la courbe a^ et par un certain arc ne la ant pas sous un angle nul, et l'on pourra manifestement en faire présentation conforme sur un cercle. Ceci posé, on pourra ionner l'arc analytique AMB en un certain nombre d'arcs sufiment petits et tels que deux arcs conbéculifs empiètent Tun 'autre. On joindra deux à deux les extrémités de ces arcs par ignés situées dans S et telles qu'elles limitent, avec Tare cor- 3ndant, des aires dont on puisse faire, comme il vient d'être la représentation conforme sur un cercle. L'ensemble de ces . formera une nouvelle aire limitée par l'arc AB et un arc APB ï dans S, et, pour cette aire, on saura résoudre le principe de chlet par l'emploi du procédé alterné. On peut supposer que APB coupe l'arc AB sous des angles différents de zéro. Nous itérons la même construction pour tous les côtés du contour. Q chaque sommet S nous placerons le centre d'un secteur cirire intérieur à S et empiétant sur les deux aires limitrophes nous venons de construire. Ceci sera toujours possible, puisque lires ont, aux sommets, des angles différents de zéro et que gle du contour en chaque sommet est différent de zéro. nGn nous tracerons une série de cercles tout entiers intérieurs et qui ne soient jamais tangents entre eux ni aux contours des s auxiliaires, et en assez grand nombre pour que tout point de S intérieur à un de ces cercles ou à l'une des aires auxiliaires, jffira évidemment pour cela d'un nombre limité de cercles. La

Oq trouvera dans le Mémoire de M. Schwarz l'examen du cas où l'angle ■1 ; certaines hypothèses sont alors à faire relativement à l'ordre de contact eux arcs.