DIFFÉRENTIELLES
I. — Première démonstration de Cauchy relative à l'existence des
intégrales.
1 . Nous commencerons par donner la première démonstration de Cauchv relative à l'existence des intégrales d'un sj'stème d'équations différentielles ordinaires du premier ordre
dx
= /l(^»7l,j2 ym)j
/ — j in\^t y\* y\' •'•tym)-
Gette démonstration nous est seulement connue par les leçons du grand géomètre publiées en i844 par M. Moigno; elle concerne spécialement le cas où les fonctions /et les variables sont réelles. Son point de départ^ aussi naturel que possible, consiste à regarder les équations différentielles comme limites d'une succession d'équations aux différences. M. Lipschitz (*) a simplifié notablement la démonstration de Cauchy et a bien mis en évidence les hypothèses fondamentales nécessaires pour la démonstration.
(») LiFScnnZf Lehrbuch der Analysis, p. 5o'|.
2g2 CHAPITRE XI.
Pour simplifier Texposition et éviter des indices multiples, nous nous borneroas au cas d^une seule équation^ la méthode s^étendra d^elle-méme aux m équations écrites plus haut. Parlons donc de V équation différentielle du premier ordre
Nous faisons sut /{x^y) les hypothèses suivantes. Dans le voisinage d'un certain système de valeurs (j:*©? J'o)? correspondant à
la fonction réelle /{x^y) des deux variables réelles x et y esl continue, c'est-à-dire que, étant donnée une quantité X aussi petite qu'on voudra, on pourra déterminer S tel que pour
on ait
les points ( j-, y)^ {x -h A j:, y -{- ly) étant dans la région définie par les inégalités (i).
De plus, et c'est l'hypothèse bien mise en évidence par M. Lipschitz, il sera nécessaire de supposer qu'il existe une quantité positive k telle que
|/(>. Jj)-/(-^>ri)l<^l7î-rt I-
Cette hypothèse est manifestement d'un caractère très général; elle est vérifiée, d'après le théorème des accroissements finis, si/ a, par rapport à y^ une dérivée partielle qui reste finie.
Ceci posé, soit A une quantité positive satisfaisant aux inégalités
en appelant M la valeur absolue maxima de f{x^y) pour les points du domaine (i).
Nous allons montrer qu'// existe une /onction continue y de X satisfaisant à Inéquation différentielle
THÉORÈMES SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. QqS
définie pour toute vale ur de x telle que
[ar — aroK A, et prenant pour x^= Xq la valeur y^^.
C'est le théorème foDdamental de la théorie des équations différentielles ordinaires.
2. Notre point de départ sera le m6me que pour arriver à la notion de l'intégrale définie au début du Tome I. Considérons une valeur x pour laquelle
(nous pouvons supposer x> Xq). On partage l'intervalle XqX, en intervalles
•pQ J!*l j X\ aTj, • • • 1 Xn—\ X t
Formons alors les équations aux différences
y\— yo =(xi — Xq) /{xo.yQ),
7i— yi =(^î— a^i) /(^i»>i)t • •..•....« • 1
y —yn-i = (x —Xn-i)f{Xn-i,yn-l)y
qui détermineront successivement les quantités y^y y^y ..., yn-\y y* On doit remarquer que chacune des valeurs trouvées pour les^, soit pour^/, est telle que
On a, en effet, d'abord pour j^i,
I r 1 - J^o l< M ( 37 1 - r 0 )< A M < 6 ; pourra on aura
donc
I J^î— 70 I < M(ar,- j-o) < MA < b,
et ainsi' de suite.
La valeur finale j/' est donc une expression parfaitement déterminée dépendant de j? et des points de subdivision a?!, x^i •••^^/i-i* Par analogie avec la question que nous avons traitée dans le cas
de réquation tK'S simple (t. I, p. 2)
nous devons nous demander si cette expression y tend t^ers une limite déterminée, quand, x restant fixe, tous les intervalles tendent vers zéro, leur nombre augmentant indéfiniment.
Nous allons montrer qu'il y a bien une limite, et celle-ci est la fonction de x que nous cherchons.
3. Nous considérerons d'abord une première loi de subdivision telle que Ton passe d'un mode d'intervalles au suivant en fractionnant chacun des intervalles précédents. Nous allons établir que, pour une telle loi de subdivision, y tend vers une limite.
Soit
le premier mode de subdivision; nous marquerons par un accent le second mode de subdivision, et pareillement les valeurs de y auront des lettres accentuées. Soient l'intervalle x^g^x^^^ et
X i = Tjt, • * • 1 X m , .... Xff = X(x-+ 1
les valeurs intermédiaires des x\ On aura
\ym -y'/l < i^m - ^/)M < (Ta+i — Xa)M.
Nous supposons la première subdivision poussée assez loin pour
que
^a+i— ^a<o et (a^a+i — ara)M < X,
0 et X se correspondant d'après les notations du § 1 : on aura par suite
(K) i/(ar;„,r».)-/(a-j,7J)l<^-
Or on a
yz-^i—fi = ( a-;+ , — ^ j) /(arj, y, ),
J'n J'n-l — \^n ^/»-l)y (^«-1» ^ii-l)
THÉORÈMES SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. S^qS
donc, en faisant la somme et se servant des inégalités (E), :K;-^/ = (ara+i-^a)[/(^J>y/) + OX] |0|<i.
D'ailleurs on en conclut
mais x^== Xflt; nous avons donc, en nous servant de la seconde hypothèse faite sur/,
lr« — ra+il< 1//— rai -^ (^a+i — ^a)[^lr/ — 7a| "♦" X],
inégalité fondamentale dont nous allons tirer la démonstration de V existence de la limite.
On voit que cette inégalité donne une limite de la différence des valeurs des lettres accentuées et non accentuées en o^a+i en fonction de leur diOerence en Xg^. Nous sommes donc assuré, en allant de proche en proche, de trouver une limite supérieure de \y —ylenx.
Désignons, pour abréger, par Va+i la différence \y„ — yaL^\ |- I^'inégalité précédente, à savoir
Va+, < Va-H {xo,^^ — Xj)[k\ ¥« | -4- X]»
pourra s écrire
' Va+,< Va[i -H A(a:a-4-i— ara)]-h X(a:a+i — ara), OU
Va+i-t- ^ < (Va-4- -A [i -^ k\xai^x—x^)]\ par conséquent, puisque Vo= o,
Va-4-i-f- j < j^[i-+-A:(ari — Xo)][i-f-A-(a:,--a:,)]...[i-h A:(a?a+i — a?a)].
Or, pour X positif, on a on en conclut
'2g6 chàpiteb xi.
ou
Prenant le point extrême x, nous aurons, d'après ce qui précède, en désignant par y la valeur à laquelle conduit le premier mode (le subdivisions, et par j/^ celle à laquelle conduit le second mode,
Cette inégalité obtenue, la démonstration s^achève d*ellemême. A partir du mode de subdivision Xj tous les autres modes de subdivisions suivants x' donnent pour j/^ des valeurs comprises entre
y-^jX e*^'-'»' — I ] et r — V [ e^ î'-'o' — i ].
Prenant alors une suite de quantités \ décroissantes et tendant vers zéro, on formera, d'après un mode de raisonnement bien connu, une suite d'intervalles décroissants, tous compris les uns dans les autres et tendant vers zéro; la limite commune des deux extrémités de ces intervalles est la limite cherchée.
Ainsi, nous avons une limite pour^ quand on adopte une loi de subdivisions de la nature indiquée. Je dis que toute autre loi conduira à la même limite. Soient deux modes quelconques de subdivisions de l'intervalle XqX^ marqués respectivement par les lettres
X et x' :
nous désignerons par x!' la subdivision formée avec l'ensemble des deux premières. Si les intervalles x et x' sont moindres que 8 (o correspondant, comme plus haut, à une valeur donnée de X), on aura
donc
l/'-yi<T[^^^'-'«'-0;
l.r-yi<^[«*^'-'«'-i].
Il en résulte bien évidemment, puisque \ est pris aussi petit que
THÊOEÈMES SUR LES ÉQUATIONS DlFFÉRBlfTIBLLES. 297
, que^ aura une limite si j^ en a une, et ces deux limites
s mêmes.
sumé, nous avons établi que, quel que soit le mode de ion, y a une limite parfaitement déterminée. Cette t une fonction de x^ qui pour ^ = o^o se réduit ky^,
reste à montrer que la fonction y de x^ qui vient d'être , satisfait à l'équation diCTérentielle
lans l'intervalle A, les trois points j^oi ^, ^\ et supposons, ;r les idées,
' la valeur de la fonction précédemment trouvée en a:, et 3ur en x'. Pour trouver ^, on peut concevoir qu'on parte îc la valeur y et qu'on fractionne l'intervalle xx' en un de parties grandissant indéfiniment. D'autre part, si Ton 1 qu'un seul intervalle, on obtiendra la quantité Y' définie
\x' — x\<^ù (0 correspondant toujours à une quantité )v), iprès le paragraphe précédent,
|Y'-yi<^[e*«-'-)-,].
uvons écrire cette inégalité sous la forme
Y'-y=Ç[e*<-'— )-i] (eî<i).
donc
y —y ex e*(^-r)-,|
ilte, en faisant tendre x^ vers x et remarquant qu'alors on
peut prendre \ de plus en plus petit, que^ a une dérivée -£1^^^^^^
bien
ce qui achève la démonstration.
5. Le théorème fondamental que nous venons d'établir s'étend s$ins modifications essentielles au cas de m équations du premier ordre
On suppose que les fonctions y soient continues pour les valeurs des X et des^ satisfaisant aux inégalités
soit M la valeur absolue maxima des fonctions /" dans ce domaine. De plus, on a, pour deux systèmes quelconques de points de ce domaine,
les A* étant des constantes positives.
En remplaçant, comme plus haut, les équations difTérentielles par des équations aux différences, on établira, sans autre peine que quelques longueurs d'écriture, que, dans la région définie par
ar — To|< A,
ou
A < fl, AM < 6,
il existe m fonctions continues j'i,j^2 9 • --^ym de x satisfaisant au système d'équations différentielles, et prenant respectivement pour T = a:o les valeurs ^'J, ^J, ..., yj^. La région dans laquelle les
