THÉORÈMES SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
intégrales sont définies correspond donc à un intervalle tracé de
part et d'autre de Xq, et dont la longueur est la plus petite des
deux quantités
G. Nous venons de trouver un système d'intégrales continues prenant des valeurs données pour x = Xq] nous avons maintenant Cl démontrer que ce système est unique. Pour éviter toute difficulté, nous ferons seulement ici l'hypothèse complémentaire que les fonctions / ont des dérivées partielles par rapport à y ellesmêmes continues.
Admettons donc que nous ayons deux systèmes d'intégrales j^<, Vit •••? ym et >3|, -32, ..., ;;„, prenant respectivement les mêmes valeurs en jTq. On aura
— ^ — =/i (^» ^1. ^2. • •,-//!) — /i {^^yuyti ' ' j^m), • ••• •• • ■ ..• •• •••»
ni Zfff — Vfft ) //,. -^ \ f / \
^~ — Jm\^t ^1* ^1) • • • > ^m) J m\^t ^1> yit • • • j ym)y
ce qui, en faisant usage du théorème des accroissements finis et posant
pourra s'écrire
-^J = A} M, -r- \\Ui -'-... -^ \'{* Um,
"^ ^ Kl "1 -+- A Ji a,-4-. . .-1- Ay, Ufn,
et les  sont des fonctions continues de x dans le voisinage de x^. D'autre part les u s'annulent pour x^ ; nous allons donc partir de ce système d'équations linéaires en a, et montrer qu'un système d'intégrales s'annulant pour x^ est nécessairement nul identiquement.
Montrons d'abord qu'un système quelconque d'intégrales peut s'exprimer à l'aide de m systèmes particuliers d'intégrales. D'après le théorème fondamental, on pourra trouver un système d'inté-
grales
puis un second sjslème et enfin un /w*'"* système
f / 1 . C/j ^ ...» "tH'
Les valeurs de toutes ces intégrales pour Xq peuvent être prises arbitrairement. On suppose seulement que le déterminant formé avec les valeurs des m^ fonctions précédentes pour j: = jr© ne soîl pas nul.
Posons alors
les C étant des fonctions dejr; en substituant dans les équations, nous aurons
dx ' dx ^ dx ^
dx "' dx "* ••• ^ "* "'"'
Le déterminant des coefficients des dérivées ne s'annule pas dans le voisinage de a?o, puisqu'il ne s'annule pas pour a: = Xo S I^^ lettres C sont donc des constantes; or, pour^r =d:oi ^^ doitavoîr
Cl = o, Cj = 0, • • • T C/ii = o,
puisque U\ = «/j = . . . = w,,, = o pour x=^x^. 11 en résulte que w<, «/2, ..., Uni sont identiquement nuls, comme nous voulions rétablir.
Des paragraphes précédents, nous concluons que, étant donné le système (2)^ on peut en général se donner arbitrairement les valeurs de j^i, ^2» • • • » y m pour x=iXq. Les intégrales dépendent
THÉORÈMES SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 3oi
donc de m constantes arbitraires, et Ton entend par intégrale générale du système l'ensemble de m fonctions y de x qui satisfont aux équations différentiel les et qui dépendent de m constantes arbitraires pouvant être déterminées de telle façon que pour X = x^ les y puissent prendre des valeurs arbitrairement données.
II. — Démonstration de l'existence de l'intégrale par une méthode
d'approximations successives.
7. Indiquons une autre méthode pour établir l'existence des intégrales des équations différentielles ordinaires (*). Nous envisageons, comme plus haut, en changeant seulement un peu les notalions, le système des n équations du premier ordre
dv . .
dw . .
Les fonctions /"sont des fonctions continues réelles des quantités réelles j;, w, r, . . ., w dans le voisinage de Xq^ Uq, i'oi • • •? fVp. Elles sont définies quand Xy u, v^, .. ., iv restent respectivement compris dans les intervalles
u et 6 étant deux constantes positives.
De plus, on suppose que Ton puisse déterminer n quantités positives A, B, . . ., L, telles que
< A I m' — M I -+- B I i^' — p I H-. . .-+- L 1 tï^' — w\,
X ainsi que les a, r, . . ., iv restant dans les intervalles indiqués.
(') J^ai indiqué pour la première fois cette méthode dans mon Mémoire du Journal de Mathématiques (1890).
30Si CHAPIIKE XI.
On voit que ces hypothèses sont celles que nous avons (ailC!» en étudiant la première démonstration de Cauchy.
8. Ceci posé, nous allons procéder par approximations successives.
Considérons d'abord le système
nous en tirons, par quadratures, les fonctions u^, i*i, . . ., tv,, en les déterminant de manière qu'elles prennent pour Xq les valeurs i^Oî ^'oî • • •> *^'o' O" forme ensuite les équations
et l'on détermine f/o, i'a? •••? *^'2 p^r la condition qu^eiles prennent respeclivemenl pour ./:„ les valeurs Uq^ io« •••> *^'o- On continue ainsi indéfiniment. Les fonctions Um-^t ^■m-^^ •••» ^^nt^t seront liées aux suivantes tt»,, c,;,, .... iv„t par les relations
ri, pour .r = .ry, on a
Nous allons établir que, m augmentant indéfiniment, w^, t^,^. . , ., iv,„ tendent vers des limites qui représentent les intégrales ehereliêes, pourKU que x reste sujfisamment voisin de ar^.
Soit M la valeur absolue maxima des fonctions/*, quand les variables dont elles tlépendent restent dans les limites indiquées. Désignons par p une quantité au plus égale à « : si j: reste dans rinter\alle {xo — p» .^'o -H ?\ on aura
I "i — "o| < M.- i »i — ci-o| < Mp.
Par suite, si Mp<;^>, le-i (juantités w,, i*,, ..., u-, resteront
TBÉORÈMBS SUR LBS ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 3o3
^^^% les limites voulues, et il est évident qu'alors il eu sera de ^^tne pour tous les autres systèmes de valeurs w, r, . . ., iv. Désignant par 8 une quantité au plus égale à p, nous allons supposer ^e X reste dans l'intervalle (xq — 8, j^o 4- 3). En posant
on peut écrire
Or on a
|U,|<M8, ..., |W,|<Mo.
Les équations précédentes, pour m = 2, démontrent que | U2 , IV2I, ..., |\V2 I sont inférieurs à
(A-+-B-h...-hL)Mo«,
et, d'une manière générale, de proche en proche, on voit que
I Um l? • • -M Wto I sont inférieurs à
Or
u,„ = Uo -h Ui H- Ut -4-... -h U,„;
par suite, Um^ i^m, . . ., Wm tendront vers une limite, si
En prenant 8 assez petit, cette condition sera vérifiée. Nous voyons donc que Um, ^m^ • . •, ^m tendront vers des limites déterminées //, ç, ..., (V, fonctions continues de x dans l'intervalle (jTo — 8, ^0 4- 3), 8 étant la plus petite des trois quantités
M' A-i-BH-...-+-L'
1/, v^ . . ., iv seront représentées par des séries qui convergent à la manière d'une progression géométrique décroissante.
3o4 CHAPITRE XI.
Od a d^ailleurs
et, puisque les Umi ^'mj •••> (^m difTèrent de leurs limites d'aussi peu qu^on veut, pour m assez grand, quel que soit x dans Tintervalle indiqué, on aura, à la limite,
et, par suite,
et de même pour les autres équations. Les fonctions w, r, cv
sont donc les intégrales cherchées,
9. On voit que la démonstration précédente définit Tinlégrale dans un intervalle qui ne peut être supérieur a celui qui est fourni par la première démonstration de Cauch}^, puisque la plus petite des quantités (4) ne peut être supérieure à la plus petite des quantités
a et ^|« Ce résultat est d'ailleurs dans la nature des choses, la dé-
monstration actuelle étant moins naturelle que celle de Cauchy, qui prend pour point de départ la véritable origine de Téquation différentielle en la considérant comme la limite d'une équation aux différences. Nous avons seulement ici l'avantage, qui peut avoir son prix, d'avoir l'intégrale représentée par une expression analytique telle cpTune série convergente.
III. — Démonstrations au moyen du calcul des limites de Cauchy. Comparaison des domaines de convergence.
10. La première démonstration de Caucli}' ne fait que des hypothèses très générales sur la nature des fonctions/. En supposant que ces fonctions soient des fonctions analytiques des lettres dont elles dépendent, Cauchy a indiqué un autre type de démonstration dont nous allons maintenant nous occuper. L'illustre géomètre a donné le nom de Calcul des limites au principe fondamental de comparaison qui joue le rôle essentiel dans cette méthode. Le
THÉORÈMES SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 3o5
nom n'est pas bien heureux, mais Tidée est réellement féconde : elle peut être appliquée, et de la manière la plus variée, à d'autres questions qu'à celle qui nous occupe actuellement (*).
Briol et Bouquet et M. Méray en France ont simplifié notablement les démonstrations de Cauchj fondées sur le Calcul des limites, et, en Allemagne, M. Weierstrass a fait usage aussi des mêmes principes d'une manière différente.
Nous allons suivre Briot et Bouquet dans l'exposition de la démonstration (2). Prenons d'abord une seule équation
La fonction fi^x^y) est supposée liolomorphe dans le voisinage de Xq etj)^o- O" peut supposer évidemment, en faisant un changement de variable, que XQ^y^^^o, La fonction y(:r,)) sera donc holomorphe par rapport à j; et à y quand x Giy seront respectivement à l'intérieur des cercles C et C décrits des points :c = o et jK= o comme centres avec les rayons a et 6, et on la supposécontinue sur les circonférences elles-mêmes. Nous appellerons M le module maximum de la fonction y* dans ce domaine.
Si l'équation (5) admet une intégrale holomorphe dans le voisinage de j: = o et s'annulanl pour cette valeur de la variable, elle sera unique et Ton pourra obtenir, au moyen de l'éqnalion différentielle elle-même, les valeurs des dérivées successives ~-> 77^' •" pour j? = o. Il suffit de différenlier l'équation (5), d'abord unefois, pour avoir -~» et de substituer dans le second membre j:==o,
y = o) en (liflérentiant une nouvelle fois, on aura -j^ et ainsi de suilc. Nous pourrons donc former le développement
(«) Dans les Œuvres complètes de Cauchy, i'* série, t. VII, on trouvera un grand nombre d^arlicles des Comptes rendus se rapportant au Calcul des limites.
(») Briot et Bouquet, Journal de V École Polytechnique, t. XXI, et Traite des fonctions elliptiques, p. 3a5.
3o6 CHAPITRE XI.
Le point essentiel, dans la démonstration, consiste à faire voir que le développement ainsi obtenu converge si j: a un module saffisamment petit. Ce point une fois établi, il est bien clair que la fonction^' ainsi définie satisfaite Téquation différentielle, puisque les deux fonctions de x
ont, diaprés la manière même dont y a été obtenu, la même valeur pour a: = o ainsi que leurs dérivées de tout ordre ; elles coïncident donc, c'est-à-dire que Téquation (5) est vérifiée.
C'est en comparant Téquation proposée à une autre que nous allons pouvoir établir la convergence de la série (6), et l'idée d'une telle comparaison forme ce qu'il y a de réellement intéressant et fécond dans ce que Cauchy appelait le Calcul des limites.
Rappelons que, étant donnée la fonction f{x^ y)^ on peut trouver une fonction V{x^y) holomorphe dans les mêmes cercles G et F et dont les dérivées partielles, toutes positives pour œ ^=y = o, sont telles que
dx" Oj'P
c'est ce que nous avons vu (Cliap. IX. p. 'ïig)\ entre autres déterminations de F, nous avons indiqué
Ceci posé, considérons l'équation différentielle auxiliaire
Admettons qu'il existe une intégrale Y de cette équation, holomorphe dans le voisinage de x = o, et s'annulant pour x = o. On aura, pour Y, le développement
«r -+- Aj-c' -T- . . . .
Les coefficients des puissances de x dans ce développement sont
THÉORÈMES SLR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 3oj
positifs, et, d'après les inégalités (a), od aura visiblement
Le développement (6) sera donc certainement convergent dans le champ où converge le développement (7). Or il est facile de démontrer directement l'existence de la fonction Y. Ecrivons Téquation
dY M
sous la forme
/ Y\ d\ M \ b) (Jx X
Si la fonction Y existe, les doux membres sont respectivement les dérivées de
Y* Y— -^ Cl
Malos(,f)
Nous prendrons la détermination du logarithme s'annulant pour X = o, détermination holomorphe dans le cercle de rajon a. Comme Y s'annule pour j: = o, on devra avoir
Y-2^=-Malog(.-î) et, par conséquent,
en donnant au radical la détermination -f- 1 pour œ -=.0,
La fonction Y, ainsi définie, satisfait àTéquation -j— =:F(a:, Y);
elle s'annule pour x = o, et elle est holomorphe à l'intérieur d'un cercle ayant l'origine pour centre, et un rayon p annulant la quantité placée sous le radical, c'est-à-dire donné par l'équation
ce qui donne
ioS CHAPITRE XI.
Nous sommes donc assure que le développement (-j) converge à rintérieur du cercle de ravon s; il en est donc de même du développement (6), et, par suile, nous pouvons affirmer que /Vq nation (5) admet une intégrale holomorphe dans le cercle dt* rayon p ayant V origine pour centre, et s' annulant pour x=^*). (^ello intégrale holomorphe est unique.
On remarquera qu'à Tinlérleur du cercle de rayon o on a certainement
on a donc, par conséquent,
il rintérieur du même cercle.
11. L'anaivse précédente s'étend sans modification au cas de /> é(|ualions
dx
= A(^yyijJ'ly '":J'n).
-jj: =fn{jr,yuyt y»)-
On suppose que les/" sont holomorphes par rapport à a: et aux y dans les cercles de rayon a el b décrits respectivement de I'ori«;ine comme centre dans le plan de x et des^'. Si, de plus, M désigne encore le module jnaxiuuim des y, on comparera ce système au suivant
en posant
¥{x. Y,, Yj, . . ., Y„) =
Les \ s'annulant tous pour x^=o sont identiques, et Ton n'a à considérer que Tunique équation
dri M
dx ~ / x\/ Y \ «
THÉORÈMES SUR LRS ÉiQUATlONS DIFFÉRENTIELLES. 3oÇ)
Le rajon p du cercle, dans lequel la convergence des développements est assurée, sera ici
o^aii — c''"-^''^").
12. Revenons un moment à la première méthode de Cauchy, el hornons-nous à une seule équation. Quand la fonction /(a:, >') est une fonction holomorphe, on peut encore appliquer cette méthode. La comparaison des résultats fournis par les deux méthodes est intéressante. Nous supposerons que les valeurs initiales sont (^Oï^o) au lîeu de (0,0).
Voici d'abord quelques remarques préliminaires. La dérivée y'yi^yy) est holomorphe à l'intérieur des cercles C et C; elle n'est pas nécessairement définie sur les circonférences ellesmêmes, mais il n'y a aucun inconvénient à le supposer, car on peut remplacer les cercles de rayon a cl b par les cercles de rayon ri — s et b — 71 (s et 7| étant fixes, mais aussi petits que l'on voudra), et la conclusion à laquelle nous arriverons n'en serait pas changée. Soit donc k le maximum du module de /'y(x,y) dans les cercles C et C.
En désignant par^i et j^2 deux valeurs quelconques dey à Tintérieur de C, on a
/•(x, j5 ) —/(x, 7, ) = Xo( jj — 71 )/; [ Jp, 7, + 0(7j — 7, )] , I >o I ^ I .
en appliquant le théorème des accroissements finis tel qu'il a été étendu par M. Darboux aux fonctions d'une variable complexe (*) (l. I, p. 35). De l'égalité précédente on conclut
l/{^,r2)-/(^»7i)|^^*iri~7il-
( * ) A la vérité, nous n'avons démontré ( t. I, p. 36) la formule généralisée des acrroissements finis que pour une fonction complexe d'une variable réelle, mais le cas d'une fonction analytique d'une variable complexe se ramène immédiatement au précédent. Soit /{z) une fonction analytique de z holomorphe dans un certain domaine comprenant deux points z^y z^ et tous les points de la droite qui les joint. Soit z un point variable sur la droite z^z^; en désignant par a Targument de -» — -., on a
soit d la valeur de p correspondant à ;;,. Par suite, nous aurons
/(^<,+ pe'')=F(p);
3fo CBAPini II.
De pins, la continuité de la fonction/' jt. y est oniforme i Tintrieur des cercles C et C oa plas exactement à rîntérieiir des cercles de rajon a — -et^ — t. que nous pouvons, pour la même raison que plus haut, supposer être les cercles C et C eux-mêmes.
Cela poséy soit A une quantit<^ p>sîti%e telle qu'on ait à la fois
et envisageons dans le plan des x le cercle avant x« pour centre et A pour ravon : on trace un ra von de ce cercle. En appliquant la première méthode de Ouchv. on %erra. sans changer en rien les raisonnements, que l'équation différentielle détermine sur if rayon tracé une fonction de x (dans les diverses inégalités que nous avons eu à écrire, ce sera le module qui remplacera la \aleur absolue). De plus, on démontrera ici. comme plus haut, querint^^ale continue sur un ravon et prenant en x« la valeur ^y*^ est nécessairement unique.
13. Pour chaque point x à Tintérieur du cercle de rajon A. nous déterminons ainsi une valeur pour y*, relative en quelque sorte au chemin rectiligne x^x.
Le rayon A est, comme on a \u, la plus petite des quantités
h a et ^.
11 ne [>eut être admis, sans plus d'explications, que la succession des valeurs ainsi trouvées pour j- donne une fonction analytique de x, holomorphe dans le cercle de rayon A : cest ce que nous nous proposons maintenant d^établir.
P(p) étant ooe fonction complexe de la variable réelle s. Nous avons d'après It* théorème généralisé des accroissements Gnis
8 étant compris entre zéro et d. On reconnaît de suite que cette formule peut s'écrire
Ç étant un point de la droite joignant z^ à ^, : on a toujours I À I \ i. C'est dr cette formule que nous faisons usage dans le texte.
THÉORÈMES SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 3ll
Il est tout d^abord évidenl qu'à rîntérieur du cercle de rajon
la succession des valeurs trouvées pour j^ représente une fonction analytique holomorphe/car cette succession de valeurs doit nécessairement coïncider avec celle que donne le développement en série de Briot et Bouquet. 11 faut montrer que les valeurs trouvées pour y en dehors de ce cercle sont le prolongement analytique de ce développement.
La remarque suivante nous sera encore indispensable. Je considère les cercles C| et C\ de rayon a — £ et b — r^, en désignant par e et 7| des quantités fixes, d'ailleurs aussi petites que Ton voudra. Soit Xt et^i un système de valeurs de x et^ à l'intérieur
Fig. 35.
de ces cercles; la fonction /(j:,j') sera holomorphe à l'intérieur de cercles ayant respectivement pour centre x^ et j^i et pour rayon s et T,. Donc, à l'intérieur du cercle ayant x^ pour centre et pour rayon
Téquation différentielle donnera un développement convergent. Ceci dit, je considère le cercle F ayant pour centre Xq et un rayon égal à
A l'intérieur de ce cercle nous avons, d'après Briot et Bouquet, un développement convergent procédant suivant les puissances croissantes de x — Xq] la valeur de y correspondant à une valeur quelconque de x donnera dans le plan des j^ un point à l'intérieur du cercle C,. Cherchons à étendre le développement précédent
3l2 IIHAPITRE XI.
en dehors du cercle F; nous prendrons à cet eflet un point j-| à rinlérieur de F, mais aussi rapproché que l'on voudra de la circonférence du cercle. Nous pourrons, d'après ce qui précède, obtenir un développement convergent à l'intérieur d'une circonférence Tt de rayon p, ayant jc, pour centre; le cercle Fi sortira du cercle F et nous aurons ainsi un prolongement de la fonction hors du cercle. En prenant ainsi une succession de points j:,, toujours à la même distance de Xo» nous aurons une succession de circonférences F|, et l'intégrale, dont nous sommes parti en x©, sera manifestement holomorphe dans l'enveloppe extérieure F' de ces circonférences. Pour que cette extension présente de l'intérêt, il faut que nous puissions raisonner sur V comme nous avons raisonné sur F, 11 faut donc que, pour tous les points de la couronne annulaire entre F et F', la valeur correspondante dey soit à l'intérieur du cercle C\ de rayon b — r, ; or je vais montrer qu'il en est ainsi, si le rayon du cercle F' est infiTieur à la plus petite des quantités
(8) n^i et -^^.
Le fait, qui est loin d'être évident si l'on reste dans l'ordre d'idées de Briot et Bouquet, est immédiatement mis en évidence, quand on se reporte à la première méthode de Cauchy. On peut toujours, en effet, supposer que l'on va du point Xq à un point x du cercle F' par le chemin recliligne, et calculer la valeur dey par la méthode précédente; la valeur de^, ainsi calculée, sera telle que
Nous raisonnerons donc sur le cercle F' comme sur le cercle F, la valeur de p restant toujours la même. Du cercle F', nous passerons à un troisième cercle F'' et ainsi de suite, jusqu'à ce que le rayon de ces cercles successifs devienne égal à la plus petite des quantités (8). Mais, puisque e et tj sont deux quantités indépendantes, aussi petites que l'on voudra, nous pouvons affirmer que l'intégrale de l'équation différentielle qui, pour X = Xqj prend la valeur yo est holomorphe à l'intérieur du cercle ayant pour rayon la plus petite des quantités
b (9) « et ^j.
THÉORÈMES SLR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 3 I i^
Il est bien aisé de voir que, dans tous les cas, ce nouveau ra^on ^e convergence, pour ia série de Ta^lor représentant l'intégrale,
supérieur à l'expression a\\ — e ^^/. La chose est évidente ^» o ^sta la plus petite des expressions (y). Dans le cas où ce so-
'*^* •^ .., nous avons à vériiier que
«(i-e"^)<^, '^^ ^^ ui revient à voir que, pour x positif, on a
^^^[alité manifestement vérifire.
insi on peut certainement fixer pour le domaine de converce de l'intégrale un champ plus grand que celui auquel a été conduit par le Calcul des limites (*), et ce résultai l^end immédiatement à un nombre quelconque d'équations.
