IV. - Dôtermination unique d'un système d'intégrales

par les valeurs initiales.

It. Reprenons le système des n équations

Mous avons vu que, si les /étaient holomorphes dans le voisi- ^ge de J^Oî^o^'î, • • • y y^nt ^^ y savait un système unique d'inléw^les holomorphes dans le voisinage de Xq et prenant pour celle ^leur les valeurs respectives y", y^, . . . , y^.

(') E. Picard, Sur la convergence des séries représentant les intégrales des 'ouations différentielles {Bulletin des Sciences mathématiques, 1888).

3l4 CHAPITRE XI.

Existe-t'il un autre système d^ intégrales non holoniorphes prenant les mêmes valeurs pour x = Xq'^ Par un tel système nous entendons un système d'intégrales r,, ^'2, . . .,^« jouissant de la propriété suivante.

On imagine qu'autour de XoîJ'J. •••>.)'« on décrive des cercles de rayons très petits, et Ton suppose que, x restant à Tintérieur du premier en suivant un arc de courbe C aboutissant au point Xq, les valeurs correspondantes des r restent respectivement à l'intérieur des autres cercles; de plus, quand, x restant sur C tend vers jr©, lesj^ tendent respeclivemeut vers les j'®. Avant ainsi bien défini ce que nous entendons par intégrales prenant des valeurs données pour X = Xqj nous pouvons chercher à établir que le système d'intégrales holomorphes est le seul jouissant de la propriété précédente.

Dans le Mémoire que nous avons déjà cité, Briot et Bouquet établissent ce théorème en se bornant au cas de /i ;= 1 , et leur méthode ne s'applique pas au cas de n quelconque. De plus, et c'est le point sur lequel je veux insister, leur démonstration suppose implicitement que x tend vers Xq en suU'ant un arc de longueur finie. Si l'on admet cette restriction, la démonstration pour le cas de n quelconque peut se faire en suivant la marche que j'ai indiquée dans le cas où x est réel (§ 6). En effet, toutes les considérations développées dans la première Section de ce Chapitre peuvent être étendues au cas où l'on admet que x reste sur un arc Jîni aboutissant en Xq, Nous nous placerons maintenant à un point de vue un peu différent pour ne pas introduire d'hypothèse supplémentaire dans la démonstration, et nous parviendrons facilement au théorème cherché en nous appuyant sur le théorème fondamental relatif à l'existence des intégrales dans la théorie des équations aux dérivées partielles.