Soit d'abord l'équation unique

(E) f- =fir,y).

Nous considérons l'équation aux dérivées partielles

àx •' ^ ày

THÉORÈMES SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 3l5

II y a une inGnilé de fonctions F(x,y) des deux variables indépendantes X et y, vérifiant cette équation. Si, comme nous le supposons, /(x,^) est holomorpfae dans le voisinage de x^y yo^ nous établirons dans un moment qu'on peut trouver une fonction V^Xjy) holomorphe dans le voisinage de (jro>^o)> satisfaisant à cette équation et se réduisant pour x = Xokune fonction arbitraire, donnée à l'avance, f (y), holomorphe autour dej'o- Nous admettons ce théorème fondamental qui sera démontré dans la Section suivante.

Ceci dit, soit F(x,y) une telle intégrale; nous supposerons

seulement, comme il est possible, que F s'annule, tandis que — ne s'annule pas, pour x = Xq^ yz=:yQ [il suffit de prendre <f{y) telle que '^(j^'y) = oet «p'(j>'o) ^ o]» Si l'on substitue dans F (j:,j^^), à la place dey, une intégrale quelconque de l'équation (E), on aura

C étant une constante indépendante de :r; on a, en effet,

dF dF dy dF ôF ^,

Si maintenant nous revenons à une intégrale y^ définie comme au paragraphe précédent, et prenant pour Xq la valeur yo^ on devra nécessairement avoir

puisque F(xQ,yQ) = o. Toute intégrale y satisfera donc à l'équation précédente. Or, si nous nous reportons au théorème de Weierstrass (Ghap. IX, §8), nous savons que l'on peut écrire,

puisque (g)^^o,

^i^^y) ne s'annulant pas dans le voisinage de {xo,yo) et P(^)

étant holomorphe. L'intégrale j^, que nous éludions, vérifie donc

la relation

Elle coïncide avec l'intégrale holomorphe (*).

(*) On voit qu'il est utile pour la théorie des équations différentielles de ne pas établir Tcxistence des fonctions implicites en s'appuyant sur les théorèmes

3l6 CHAPITRE XI.

16. La démonstration sVtend d'elle-même à un système d'équations différentiel les

on devra ici considérer Téquation aux dérivées partielles

ÙV ^ dV . dV

ox -^ /H-, -^ Oyn

Nous admettons, comme nous Tavons fait plus haut, qu'il existe une fonction F des n -\- i variables x,yi, V2? . . .,^/i satisfaisant à cette équation et se réduisant pour x = Xo k une fonction arbitraire donnée à l'avance 'f{y^'^y2^ •••>JK//) holomorplie dans le

voisinage de ^rî^r^ ••» >'«•

Si dans une telle fonction F(^, J^i, j)'2, • . ., J'/i) on remplace

J'mJ'-m •••» JOi par "n système d'intégrales des équations propt)-

sées, on aura

(J étant une constante indépendante de x,

Prenons alors n fonctions F, que nous désignerons par F|, F2, . . ., F,,; elles seront déterminées par les fonctions ^1, ^2» •••» '^„ (|iii sont leurs valeurs pour x=:Xq» Nous supposons que

et (|ue le déterminant fonctionnel ne s'annule pas pour j^J, j^-", ..., jj.

relatifs à l'exislcnce des intégrales. Ce n'est pas, d'ailleurs, la seule fois où nous trouverons profit à avoir établi Tcxistcnce des fonctions implicites à Taidc du théorème de Weierstrass.