THÉORÈMES SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. ^IJ

Un système quelconque d'intégrales j>'i,j'2> • • •» J'/o prenant |>ourxo les valeurs respectives ^pi'J, •.., J'JI? satisfera aux équat-îons

F/i(^,ri»7î» •'",yn) =o.

Or, d'après ce que nous avons vu (Chap. IX, § 11), les valeurs <Jes y, satisfaisant à ces équations, restant dans le voisinage de «"^îî J^î» • • •» J'/lî quand x reste lui-môme dans le voisinage de Xq^ ^t prenant pour x =^ Xq les valeurs y^-i y\^ . • ., J^,^, sont des fonctions holomorphes de x. Nous arrivons donc encore à la conclu- >>ion : il ny a pas (T autre système d^ intégrales satisfaisant aux conditions requises que le système liolomorphe,

17. J'ai insisté sur l'existence unique du système d'intégrales dans le cas général où les équations ne présentent aucune circonstance singulière; c'est, en effet, une proposition tout à fait fondamentale et la base même de l'emploi des équations différentielles dans toutes les applications. 11 semble de plus, à lire certaines phrases d'un Mémoire de M. Fuchs ('), que ce théorème puisse être mis en doute. Je ne puis partager le scepticisme de rillustre géomètre. Sans doute, on peut faire une légère critique à la démonstration de Briot et Bouquet, mais la proposition ellemême n'en subsiste pas moins, comme je viens de le montrer, si Ton précise bien l'énoncé. Prenons, en le simplifiant, un exemple cité par M. Fuchs : soit l'équation

^ =— ^, dx X

dont l'intégrale générale est visiblement

logx

C étant une constante arbitraire. Soit Xq yé o, lorsque x part du voisinage de x^ et y revient après avoir tourné un très grand

C) Fuchs, Sitzungsberichte der Derliner Akademie, i886.

3l8 CHAPITRE XI.

nombre de fois autour de l'origine, une intégrale quelco une valeur de plus en plus petite, mais il est bien clair ne peut pas dire qu'on a là une intégrale s'annulant pour au sens que nous avons spécifié au § li.