V. — Existence des intégrales des systèmes d'équations

aux dérivées partielles.

18. Nous nous sommes appuyé, dans la Section pn sur un théorème relatif à Texistence des intégrales d'ui tion linéaire aux dérivées partielles. Nous aurons plusi encore, dans la théorie des équations différentielles ordi l'employer; aussi allons-nous établir de suite ce théorèr prenant sous sa forme la plus générale.

Les propositions relatives à l'existence des intégrales c tions aux dérivées partielles ont été démontrées, pour la fois, par Cauchy, à Taide du Calcul des limites (* ). On a t de différentes manières, les démonstrations de Cauch> devons citer, en particulier, M. Darboux, M. Méray et waleski. Le Mémoire de l'éminente analyste sur ce sujc venu classique (^); c'est ce travail que nous prendrons pc dans Texposé de la démonstration. Démontrons d'abord rème préliminaire.

On considère le système d'équations aux dérivées p

(K) / àx Z^ '^ oxk \

Ox Zd ^' dxk

t)ù les A, U, ..., L représentent des fonctions holomor seules lettres //|, u* iim dans le voisinage de z/^, u\^

(•) OEuvres de Cauchr (/oc. cit.).

(M SopiUK K0WALE8KY, Journal de Creile. i. ^1.

THÉORÈMES SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. Sig

On se donne d'autre part m fonctions de Xi, x^^ . . ., Xp

holomorphes dans le voisinage de j;J, x?^, . . ., x^ et se réduisant respeclivemenl à w", w", ..., u^ pour ces valeurs des variables

•X. I • oC 2 ) * * * ) 17 *

Ceci posé, nous allons établir qu'on peut trouver m fondions tii^ //2, . . ., ///n desp H- I variables indépendantes x, Xi , Xa, . . ., Xp satisfaisant au système (E) et se réduisant respectivenient pour x = x° àçi, cpa, ..., Ç;„.

Nous faisons d'abord la remarque évidente qu'on peut supposer nulles les constantes initiales m®, a:®, x\. Si les fonctions satisfaisant au\ conditions de Ténoncé existent, on pourra, à Taidc des équations (E), effectuer leurs développements suivant les puissances de x. On aura, en effet, les valeurs de toutes les dérivées partielles des u pour j; = Xi = . . . = j;^ = o. Gela est évident pour les dérivées où x ne figure pas, puisque les valeurs des u sont données pour a: = o. Quant aux autres dérivées partielles, on les aura de proche en proche; ainsi les dérivées, où la dérivation est faite une fois seulement par rapport à x, seront données par les équations (E) différentiées un nombre quelconque de fois par rapport à x^^ x^y ...,^y>. On dérivera ensuite les équations (E) par rapport à x, et, en s'appujant sur le calcul des dérivées précédentes, on aura les dérivées partielles où la dérivation est faite deux fois par rapport à x^ et ainsi de suite.

On aura donc les développements

Ui=z Pi -I- Pja:-h...-i- Pj,a7« h-...,

où les P sont des fonctions connues holomorphes de J7|, Xj, . . ., Xp, Si ces développements sont convergents, ils satisferont au système (E); cela résulte de la manière même dont ils ont été obtenus.

Le point capital de la démonstration est la convergence des séries précédentes dans un certain domaine autour des valeurs initiales. On reconnaît, dans tout ce que nous venons de faire, l'analogie la plus complète avec ce que nous avons fait dans le cas d'une équation différentielle ordinaire. La démonstration de la convergence va encore résulter d'une comparaison avec un sys-

tcnie convenable; c'est toujours Tidée fondamentale du CaJ^^ des limites de Cauchy.

Soit M le module maximum des A, B, . . ., L, quand les u r^"^^' lent dans leurs plans respectifs, à l'intérieur d'un cercle de rayo

D'après ce que nous avons vu (Chap. IX, p. 240), la foneti

INl

«1 -i- Mî -+-. . .-+- U

peut être prise pour fonction do comparaison (*), c'est-à-dire quV dérivée partielle quelconque de F pour Ui = 1/2 ^ , . . = //^ = est positive et supérieure au module de la dérivée corresponda" des fonctions A, B, ..., L.

Nous allons comparer le syslùme (E) au système

àV, 0l\ ^ M V ^^ '

àx ax Ox Li -4- lu -h. . . - V„, À^ OTi

Soit d'autre part N le module maximum des fonctL '^(:r,, Tj, . . ., Xp) (qui s'annulent pour .r« = j:2 = . . . = Jr^ = quand les x restent respectivement à l'intérieur d'un cercl rayon p. Aux fonctions cp nous allons substituer, comme val^?' -w initiales des U dans (E'), la fonction de comparaison

D'après les propriétés des dérivées des fonctions de coixs J3araison, il est bien clair qu'en développant les U en séries à P a*^ ide du système (E'), comme on a développé les u à l'aide du sysl& J»e (E), on trouve des coefficients positifs et supérieurs au mocM t//e du coefficient correspondant dans U. 11 suffit donc de démon C'er la convergence des séries tirées du système (E'). Or les U, atysiot même valeur ^ pour x = Oj seront identiques, et le svstème C^') se réduit a l'unique équation

^ ^! /ii / f>ll âV dV \

Ox ~~ m\}\ Oxx dxt ' dXp )

(*) Cette fonction de comparaison est employée depuis longtemps par M. Wcierslrass.