THÉORÈMES SL'K LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
>C|ue <^ ne dépend que de oTi -4- ^2 -f~ . . . -h Xp^ nous pouvons >iimer que U ne dépendra que de celte somme. Refj^ardons c: U comme fonction de x et de
^lation précédente devient alors
ô\j Mmp dis àx m [j dz
nous avons à considérer Tintégrale U de celle équation qui, irx = o, se réduit à
Téqualion (m) exprime que les deux expressioj.s
U l'i ( 1 ;— 1 w -h M mpx
:it fonctions l'une de Tautre. On doit donc avoir
( I ;- ) 5 -t- M mpx = •{/( U \
Comment doit-on déterminer la fonction arbitmire i ? Nous ulons que, pour x = o.
aura donc
on
pose
La fonction •}(/) est donc complètement dcterminëe, et lu rehi D donnant U sera nécessairement de la forme
3i2 CHAPITRE XI.
(^est une équalion du second degré en Lî : pour j? = 5 = o,el*^ ^
une racine nulle el une autre éerale à — • La seule qui noQSÎ*^^**~
resse est la racine nulle : elle est liolomorphe dans le voisid^B^ de x=^z = o; c'est donc aussi une fonction holomorphc d^ -*^- ^,, X2^ . . ., ^/, dans le voisinage de
•iv — •* I • • • • — tt ' '
I^e système (E') ayant une intégrale liolomorphe, il en sera *!<' même, d'après ce qui a été expliqué, pour le système E qui adMTnel (lès lors un système d'intégrales satisfaisant aux coodilions i"e- (]uises.
19. Du théorème précédent, nous pouvons conclure un tim ^orème plus général, en supposant dans le système (E) que les A, B, ..., L ne dépendent pas seulement des £/, mais aussi d^^ ^, .ri, X2^ . • M JCp. Le théorème qui vient d'être établi subsiste di. ans ces nouvelles conditions.
Pour l'établir, nous considérerons le système des iw -|-/> — r-ï équations
()ui v^ . , , , âui
T - X j '-'t'A' ' " ! • . . . , M //; , .ÎT , iîr I , . . . , JT^f ) y
àx\ Ox
àx' ox
Ce système est de la forme de celui qui a été étudié au paragr^f^"^ précédent. On peut se donner pour ^7 = 0 les valeurs initiale^ "^ //i, Wj^ ..., Um qui seront les fonctions '^, et aussi les valeurs ^^ x', x\^ . . ., x' pour .r = o; pour ces dernières valeurs, nouspr^*'"
drons
