THÉORÈMES SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

H— I dernières équations montrent que Ton doit avoir alors •*■ — j , u I — •*' 1 » • • • » I* — '^ pi

I* suite, nous avons démontré /'existence des intégrales stéme

'^thn V T / \ ^"'

. — X j '•'i.A' "l> • • • » "/«» '^> ♦''il . . • . *''^) -j —

^fil poui' X ^= o les valeurs 'f i.'fj

• Ainsi, en particulier, et c'est le théorème sur lequel nous

sommes appuyé (§ io), l'équation

f)u -, Ott

l^^on suppose /(d:,j*) holomorplie dans le voisinage de ^o? J'o] eilra une intégrale // holomorphe dans le voisinage de jrr = a:©, ^'0 se réduisant, pour or = x©, à une fonction donnée cp(,y) ^orplie dans le voisinage de y = J'o»

i.reillement, Téquation

^w . . au ^ , ^ du

ày,n

eltra une intégrale u se réduisant, pour x = Xq, à une foncdonnée de )'i, j'o, . . .-, ym-

3».\ CIIAFITKE \ll.

Ql ELQLES APPLICATIONS DES THÉORÈMES GÉNÉRAUX

I. — Cas où le coeffîcient différentiel devient infini. Théorème de M. Painlevé sur les fonctions définies par une équation du premier ordre.

l. Nous a\ons vu, daus le Cliap'ilre pn^cdcnl, quelle était la nature de Tinlr^ralc de rc({uatiou

devenant égale à >o pour jr = jCq^ quand/^ur, y) est holoraorplie dans le voisinage de (xo,^'o)- D'autres circonstances pourront se présenter, et nous aurons à les étudier en détail. Considérons seulement en ce moment le cas trrs simple où y* deviendrait infini pour X r= jTy, )'=j^„i mais de telle manière que son inverse, s'aniiulant en (.ro,^'oV

liil lioloniorplie dans le voisinage de ce système de \aleursder cl V'. (^ue pouvons-nous dire des intégrales do I équation (i) prenant pour .r,, la valeur Vo*'

On ramènera facilement ce cas à celui pn'cédemment étudié, en considérant x comme fonction de y. Kcrivons alors IVquation >ous la forme

Le second membre est liolomorplic dans le voisinage de (.ro,^i*j,},

onule pour x = Xq, y =j*oî supposons d'une manière généque toutes ses dérivées partielles, jusqu'au rang m exclusi- ;iit, s'annulent pour ces valeurs (m est au moins égale à n. rès le théorème fondamental, il y aura une intégrale de Téîon (q) prenant pour )•= lo '^ valeur j'oî on aura

résulte (Chap. IV, § 9) que ) peut se mettre sous la fornie e série ordonnée suivant les puissances croissantes de

'€mier terme du développement contenant l'expression précéeà la première puissance. L'intégrale de l'équation (i), prenant * Xq la valeur de r©, a donc au point ^o f'f^ point critiqiu' *brique, c'est-à-<lire un point autour duquel se permutent rses valeurs de la fonction. Ces valeurs sont ici en nombre

ans la suite, nous dirons toujours qu'une fonction ^ de ^ a % un point critique algébrique, quand elle prend une valeur rminée (finie ou infinie), en jr,,, et (ju'elle a autour de ce point lombre fini de valeurs distinctes se permutant les unes dans lutres quand x tourne autour de x^.

est évident que l'on obtient ainsi toutes les intégrales de l'élion (i) prenant pour x = Xq la valeur Voi puisque nous avons tontré précédemment que la seule intégrale de (9.) prenant la urde j^o, quand j^ tend d'une manière quelconque vers j^o? ^sl aisément fournie par le développement holomorphe (3).

. L'équation diflerentielle (1) définit une fonction analj'tique, nd on s'est donné les valeurs initiales (j'o» J'o)« E" supposant / amorphe dans le voisinage de (j^o? J'o)^ on aura un premier cloppement en série qui définira y dans le voisinage de j^„. xtension de la fonction en dehors de cette première région d«' vergence se fera en se plaçant au même point de vue que s la théorie des séries entières (Chap. II, p. G8). Si l'on a tracé rc déterminé allant de Xq en X, on efiectuera, s'il est possible. Succession de développements de proche en proche pour

.i-JtCj CBAPITKE Ul.

alleindre le poiiil \. mais il est clair que Toq pourra élre arréiô 1^ >i l'on renconlre des système» de valeurs de (XjV) qui soient des >vslèmes de valeurs sinf^uiières pour la fonclîoDy(x,^K).

Sans insister sur ces généralités peu instructives^ arrétons-noas sur un cas particulier qui nous conduira à un théorème fort important. Prenons Téqualion

y est une fonction rationnelle par rapport à r, et elle est uniforniP par rapport à x quand cette variable reste dans une certaine région R. On suppose de plus que pour une valeur fixe, d^aillet^rs arbitraire, donnée à v, la fonction y de x puisse avoir dansR soU des pôles, soit des points singuliers essentiels isolés; il estévid^^^ que ces derniers ne pourront pas ici varier avec i% puisqii^*** doivent élre nécessairement des points singuliers essentiels po**^ un au moins des coeflicients des diverses puissances de ^aui^*' mérateur et au dénominateur de y. 11 n'en sera pas de mémeC^^^ pôles qui, en général, dépendront de la valeur de ^'. Désigner ^* par (a) Tensemble des points singuliers essentiels et des pôles ne dépendraient pas Aq y.

11 arrivera, en général, que la fonction y(j:", >*) deviendra//! terminée pour un certain nombre de systèmes de valeurs de (x, } ) ces systèmes seront les racines communes aux. deux équati (|u'on obtient en égalant à zéro le numérateur et le dénomina (le/. Soit (^) Tcnsemble correspondant des valeurs de x dans 1^

Enfin, si dans l'équation (E)on pose^= — > on a«ra une éqi

lion de même forme

uni

où y, est rationnelle en ji, el il pourra arriver que pour ceri systèmes de valeurs (v, o) de (x, j'i) la fonction y devienne lodéterminée; nous appellerons (y) l'ensemble des valeurs cor ^k^'pondanles de x. Ceci posé, nous allons démontrer qu'e/i dehors (kf points (a), ( j^:i), (y) V équation (E) n'a d autres points singu Sitn (fuc des pôles ou des points critiques algébriques,

iSous supposons que l'on parte d'un point Xq avec la v»cttr

APPLICATIONS DES THÉORÈIIES GÉNÉRAIX. 827

e yoi ia fonction / étant holomorphe dans le voisinage o>^o)- On mène par Xq un arc de courl)e C ne passant pas S points (a), (P), (y). Cherchons à nous rendre compte des "S de rintégrale le long de cet arc. On avancera de proche en e sur C en employant successivement les développements en fournis par le théorème fondamental, mais il pourra arriver ;s rayons de convergence de ces développements tendent vers ît qu'on ne puisse dépasser un certain point X de Tare C. devons nous demander quelle sera la nature du point X pour l^aie que nous étudions.

st, a priori, évident que trois circonstances peuvent seulese présenter. En prehiier lieu, quand x tend vers X en suivant Z,y peut tendre vers une valeur Y telle que

tction — sera alors holomorphe dans le voisinage de

), puisque X est distincte par hypothèse des points (a), (P);

Al/ X est alors un point critique algébrique.

second lieu,^^ peut augmenter indéfiniment; la fonction

une valeur (finie ou infinie) parfaitement déterminée pour L, j^i = o, puisque X n'appartient pas aux points (y), il en e encore que X sera ou un pôle ou un point critique alque.

troisième lieu, on pourrait faire Thypothèse que j^ n'a pas lite quand x tend vers X; mais nous allons voir que cela est isible. Marquons, en effet, dans le plan y les différentes ra- Y»de l'équation (4), Y|, Y2, . . ., Y^l, et considérons de plus ce plan le point 00. Si x reste à l'intérieur d'un cercle de très petit p décrit autour de X, les racines y de l'équation

ont dans le voisinage de Yi, . . . , Yjj.. Nous pouvons donc déautour de ces derniers points des courbes très petites (si p li-méme très petit) yo 72? • • • ? Ypi à l'intérieur desquelles

resteront les racines de TéqualioD précëdenle. Décrivons ensuit toujours dans le plan des y^ un cercle F de rajon très grand.

Ceci posé, revenons à Téquation (E); si l'on prend comme v leur initiale de x un point à l'intérieur du cercle de rayon p Ira plus haut, et pour valeur initiale de y un point erxtérieur a courbes y et intérieur à F, on aura une intégrale iioiomorphe d un certain champ autour de la valeur choisie de x. Quand on f< varier d'une manière continue les valeurs initiales de x cl j^, rayon de ce champ variera d'une manière continue, et ii aura nifestement un minimum X différent de zéro quand x ely dé ront Fensemble des domaines où ils doivent rester.

Ces préliminaires bien compris, supposons maintenant notre intégrale y ne tende vers aucune limite quand j: se r proche indéfiniment de X. Il est impossible que j^ reste cens

ment à rintérieur d'une courbe y ou à l'extérieur de F, car d. ce cas^ aurait pour limite un des Y/ ou Finfini. Il arrivera d que y, pour certaines valeurs de x aussi rapprochées q voudra de X, sera à l'extérieur des courbes v et à Fintéiîeur d m Or nous avons dit que, pour des valeurs initiales de or et ^ sa. faisant à ces conditions, le rayon de convergence autour du poisi est au moins égal à un nombre fixe X; il y aura donc un monra où le cercle de convergence du développement enveloppe point X, et celui-ci ne pourra pas être alors un point d*indê mination. La contradiction à laquelle nous arriverons démo i donc bien (|u'cn dehors des points (a), (^), (y) l'équation d'dutres points singuliers que des /tôles ou des points algébriques.