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3. Ce théorème a été démontré par JVI. Painievé, et même le cas plus général où f serait une fonction uniforme quelco A(t y dans le plan de la variable >• (').
Il s'étend aux équations qui ne seraient pas du premier c3
en -T • Ainsi l'équation
dx
ans
gff
( ) P. Painlevê, Sur les lignes singulières des fonction» ancUytique^ nales de la Faculté des Sciences de Toulouse, 1888).
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> DUS TIIËOBÈMES UËNERAtX. 33<>
a[g(-bi'iqtie eny el -^ n'a, en dehors d'un rcrtain nombre de points fixes, que l'on peut marquer à l'avance dans le plan, que des pûles el des points critiques algébriques; c'est un point sur lequel nous reviendrons itprès l'étude des fonctions algébriques.
On peut énoncer le même résultat sous une forme un peu dilTérente. Si nous appelons singulariit- essentielle d'une intégralitoute singularité autre que les pôles et les points critiques algébriques, nous pouvons dire que les singularités essentielles des intégrales de l'équation (5) sont Jixes, c'est-à-dire ne varieiil pas avec la constante arbitraire figurant dans l'intégrale générale. On le voit bien pour notre équation (4) *>ù les singularités essentielles ne peuvent être autres que les points (a), O), (y).
Ce théorème a été souvent implicitement admis, mais on se rendra compte qu'une démonstration rigoureuse était d'autant plus nécessaire que des circonstances toutes différentes peuvent se présenter pour les équations d'ordre supérieur au premier. Là les singularités essentielles peuvent dépendre des constantes d'intégration. Ainsi, soit
en éliminanl i'.f et Cj entre r, -,— et 'y- . on aura une équation i\lfjébrique
lU les singularités essentielles di's intégrales dépendent ei/demmenl de lu constante Cj.
II. — Équation de Riccati et équation linéaire du premier ordre, l. Itevcnons à notre équation (K)
/étaiil rationnelle en^'. Les singularités essentielles, comme nous venons de le voir, sont fixe.s, mais, en général, les pôles cl les points critiques algébriques sont variables d'une intégrale à l'autre. I^aissons de côté les pùlcs, et demandons-nous quelle forme doit
33o CHAPITRE XII.
avoir l'équation pour (jue les points critiques algébriques soie, indépendants de la constante d^ intégration.
Tout d'abord y devra être un polynôme entier en y^ car, si W avait
ut
P et (^ étant deux polynômes en r, qu'on peut supposer n'avcc=^^ ir pas de facteur commun quand x est quelconque, il suffirait po"' -^mxv .r^=Xo, Xq étant quelconque, de prendre comme valeur initia^^^^-le de V une racine j^o ^^ Téquation
L'intégrale de Téquation (li), devenant égale a y^ po ^ui* x::=^x^^ aurait en ce point un point critique algébrique, puisq^^^"- ***
-j- est infinie pour (xo^Vo). On voit donc que Xo serait un poi ^^**
critique algébrique pour une certaine intégrale, et nous avons p Xq arbitrairement.
Ainsi / est un polynôme en y. Nous allons voir qu'il ne pe être de degré supérieur à deux. C'est ce que montre de suite V
quation transformée obtenue en changeant j»* en --• Si le degré '"
de / est supérieur à deux, cette é(|uation transformée sera de '"
forme
y*! étant un polynôme en y^ ne sannulant pas, quel que soit pour :>-, rz o. L'intégrale de cette équation, qui s'annule pour u valeur arbitraire Xq de x^ aura en Xq un point critique alg brique, car nous sommes encore dans le cas du coefficient difTi rentiel devenant infini.
En définitive, notre équation (E) doit être de la forme
((•») -ji' - IM «-+-()!-;- H.
dx '^
P, Q, R ne dépendant que de x. D'ailleurs, dans toute région J. plan où P, Q, R sont uniformes, les points critiques des intégral ne peuvent être que les points singuliers (a) (pôles ou points sii
APPLICATIOS DKS THÉORÈMES GÉXÉRAIX. 33 1
jliers essentiels) de ces coeflicients : ceci résulte du ihéorème ^montré au paragraphe précédent. L'intégrale j^ a unç valeur dérminée (finie ou infinie) en tout point distinct des points (a); m qu'elle reste finie, elle ne cessera pas d'être holomorphe, et, elle devient infinie, son inverse restera holomorphe, puisque
^uation (6) garde la même forme quand on change^' en - •
5. Nous avions déjà rencontré l'équation (6), qui est connue »us le nom adéquation de Riccati (t. I, p. 4'")- ^^ peul, comme >nséquence du fait capital que les points critiques de l'intégrale înérale sont fixes, trouver a priori de quelle manière la conante figure dans l'intégrale générale.
Soient deux points Xq et x distincts des points critiques; joilons-les par un arc de courbe déterminé ne passant pas par les )int3 critiques. Désignons par j'o I21 valeur initiale d'une inté- •ale en x^, et soit j^^ la valeur de cette intégrale quand la variable i de Xq k X par le chemin tracé. Quand j'o est donné, la valeur i y s'ensuit; y est donc fonction Ac y^ et c'est la nature de cette nction que nous cherchons (').
On voit d'abord que y est une fonction analeptique uniforme î j'o, car, pour étendre de proche en proche l'intégrale à partir ; Xq^ en suivant l'arc tracé, on partage celui-ci en un nombre ffisamment grand de parties, el Ton a alors une succession de
rcles dans lesquels y ou — est holomorphe. Les valeurs succès-
ves de l'intégrale sont donc des fonctions analytiques de j^q ^^ *' I est, par suite, de même pour la valeur finale j^. Quelle que soit valeur finie ou infinie donnée ky^^yy aura toujours une valeur irfaitement déterminée qui sera également finie ou infinie; ceci ffit pour que nous puissions affirmer que y est une /onction itionnelle de y^. En eflel, la fonction uniforme^ ne pourra alors oir de singularités essenlielles; ayant seulement des pôles à disnce finie et à l'infini, elle se réduit donc à une fraction rationîlle (Chap. V, p. 123).
(') Nous généraliserons plus tard le raisonncmenl qui va être fait, quand nous udicrons avec M. Fuchs et M. Poincaré les équations algébriques du premier dre à points critiques fixes.
33a CHAPITRE XII.
Mais nous pouvons aller plus loin : y sera de la même manière une fonction ralionnelle de Vç^ car on peut aller de x en jr^ eu sui\anl en sens inverse le chemin trace, et le même raisonnement s^applique. Il en résulte que i* sera nécessairement une /onction linéa ire d e i •« , so i l
