C -.-Drô

les A, B. (*, D sont, bien entendu, à considérer comme des fonrlions de x^ fonctions indépendantes de la valeur initiale y^ di* l'intégrale. Nous pouvons donc dire que In constante arbiirairf V4, entre linéairement dans i^intés^raie générale.

Il n'est peut-être pas inutile de souligner le point de cette démonstration où nous avons besoin de nous appuver sur ce fait qii«* les points critiques de l'intégrale sont iî\es, car on pourrait être tenté d'appliquer le même raisonnement à toute équation de hi forme* (E). Nous ne pourrions pas regarder i* comme fonction «le Vç, si les points critiques des intégrales étaient mobiles: en eflet, en faisant varier i'^. il arri\erait un moment où ces points critiques, variables avec i*©, rencontreraient Tare tracé de .r„ en jr, et, à ce moment alors, y cesserait d'avoir un sens bien défini.

Nous venons de dire que la constante arbitraire, si elle est con- \enablement choisie, entre lin<*airemenl dans l'intég^rale général»* «le l'équation de Riccati. En fait, nous avions déjà obtenu ce résultat par une voie élémentaire, <]uand nous a\ons démontré (/<>f\ r/V.) que le rapport anharmonique de «piatre solutions de l'équation précédente est une constante. En désignant par v la solution générale et par i',, r^. J'j trois fonctions déterminées satisfaisant à l'équation, nous avons

Vi — V* 11— V.

a riant une constante. En lésoUant jwir 1 apport à i*, on a bien pour celle-ci une expression «le la forme \ 7 ♦, où. à la place de i\,, <e trouve la constante arbitraire z.

0. LU cas parliculier très simple de léquation de Riccati est

;iui de Téquation linéaire du premier ordre

) £ = Qr-R.

ji correspond à P = o.

On peut remarquer que les intégrales de cette équation ont non îulement leurs points critiques fixes, mais aussi leurs pôles fixes. .D effet, un point Xq du plan, qui n^est pas un point singulier de Q u de R, ne peut être un pôle d'une intégrale; car, si Ton change

en — > Téquation devient

une intégrale de cette équation s'annulant en x^ est identiqueent nulle, puisque >'i = o est une solution et que la solution est lique d'après le théorème fondamental.

On peut intégrer par des quadratures l'équation (8). Posons

élaiit la nouvelle fonction et v représentant pour le moment une notion quelconque de x\ on aura

r/i' du I.

u—, — \- V -f- = Q la' -H \\.

(ix dx

Or choisissons r de manière que

ui donne

Il prenant arbitrairi^ment la constante d'intégration. L'équation

» réduit alors à

dx On a donc

u = flXe-^Q^^dXy i l'équation linéaire du premier ordre est intégrée.

A IVquaûon < 8 ) se rallache une classe un peu plus générale qui .>*v ramène immédialemenl ; c'est Téqualion

dv il suffit de poser

Téqualion à laquelle satisfait Vx est une équation linéaire du premier ordre.

III. — Inversion de l'intégrale elliptique. Fonctions entières

associées aux fonctions elliptiques.

7. Le problème célèbre de l'inversion de l'intégrale elliptique va nous fournir Toccasion d*appliquer encore les théorèmes g«:iirraux du (Chapitre précédent. Partons de l'intégrale elliptique

(lU

OÙ r/, b, r, d sont quatre constantes distinctes. Nous avons étudié en détail les propriétés de cette intégrale, nous avons défini ses deux périodes et montré que leur rapport est nécessairement imaginaire (p. 'X'Xii ).

Cette fonction de // est complètement définie quand on a choisi la valeur initiale, |)Our// = //o, du radical qui figure au dénomiiialeur (w„ étant distinct de «, 6, r, r/), et qu'on s'est donné le chemin d'intégration. C'est la fonction irwerse qui va maintenant nous occuper, c'est-à-dire la fonction // de z obtenue en posant

/•" du

. / /Â ( // — a){u — b){u — CHU — d)

Cette fonction // de z satisfait manifestement à l'équation différentielle

(9) \^) = H^^ — <^)(u — b)(u—r)yu — d)\

. du , 11. • .

pour z = o^ on a u = //© et ^ a pour valeur la détermination

APPLICATIONS DES THÊORfeMES GÉNÉRAUX. 335

►îsîe du radical pour u = u^. D'après le théorème fondamental, u 1 une fonction holomorphe de z dans le voisinage de ^ = o ; nous lions montrer que u est une fonction, uniforme dans tout le /i, n^ ayant d^ autres points singuliers que des pôles, *Ln étendant de proche en proche la fonction, le théorème fonaental cessera d'être applicable quand la variable z arrivera en point où u prendra une des valeurs a, t, c, d et oo. Supposons bord que, pour 2 = a, // prenne la valeur a; nous allons voir ? u ne cessera pas d'être holomorphe dans le voisinage de ;; = a. nffit, en effet, de poser

^équation

du ri j — 7-

îent

»o second membre est holomorphe dans le voisinage de u'= o, =>ar suite, les intégrales de cette équation (suivant qu'on prendra e ou l'autre détermination du radical pour u'= o), s'annulant 1* 3 = a, seront holomorphes dans le voisinage de ce point, rriême raisonnement s'applique à 6, c, d,

Mpposons maintenant que, pour 3 = a, u devienne infini, on ^ra alors

cquatioii deviendra

-j- = /A(i — ap)(i — ôv)(i — cv)(i — dv). dz

second membre étant holomorphe pour i^ = o, on en conclut t s; est holomorphe dans le voisinage de a. La fonction u est le uniforme autour de a, admettant simplement ce point comme e.

De ce que, quelque valeur ( Tmie ou infinie) que l'on donne à u en

point a, l'intégrale correspondante de (9) est uniforme dans le

isinage de ce point, on conclut souvent, sans plus d'explications,

e toute intégrale de cette équation est une fonction uniforme

M6 CHAPITRE Ml.

dans tout le plan de la variable complexe 5 (*). Une telle manière de raisonner pourrait conduire^ pour des équations d*ordre supérieur au premier, à des résultats inexacts. Nous avons supposé implicitement plus haut que Tinlégrale, étendue de proche en proche, prenait en chaque point du plan une valeur déterminée. Or il pourrait en être autrement, s'il était possible, par exemple, que cette intégrale eût des points singuliers essentiels.

Quelques mots d^explication seront ici suffisants pour rendre la démonstration rigoureuse, mais il est indispensable de les dire.

Nous allons montrer que, d'un point arbitraire wq comme centre, on peut toujours décrire un cercle d'w/î rayon fixe p, tel qu'à l'intérieur de ce cercle l'intégrale u soit uniforme. Ceci étant prouvé, il est manifeste (pie l'extension de la fonction pourrase faire de proche en proche a Taide d'un cercle de rayon invariable ; la fonction pourra donc s'étendre dans tout le plan, et ne cessera pas d'être uniforme.

Pour démontrer l'existence de ce nombre p, considérons le plan de la quantité complexe u. Traçons autour des points a^ 6, c, d des cercles C de rayons suffisamment petits, qui vont rester fixes, et de l'origine comme centre décrivons un cercle F d'un rayon assez grand, qui, lui aussi, restera invariable. Tant que u est intérieur à r et extérieur aux cercles C, on a un rayon de convergence déterminé par le développement de l'intégrale de l'équation (9). Ce rayon de convergence a, quand u varie dans la région Indiquée, un certain minimum différent de zéro. Supposons maintenant que u soit dans un cercle C!, on posera u=z a -V- w'', et l'on a, comme nous l'avons vu, une écpiation en u\ à laquelle on peut appliquer le théorème fondamental. Tant que u' restera dans un certain cercle C, transformé de C, le ra^on de convergence de la série donnant u' restera encore supérieur à une certaine limite. Nous avons donc notre minimum p, tant que// reste dans le cercle F.

Si // est extérieur à ce cercle, on pose u = -t et nous avons l'é-

(') Il en est ainsi, par exemple» dans le Trailé classique de Briot et Bouquet. J'ai insisté {Bulletin des Sciences mathématiques t 1890) sur rinsuffisance de ce raisonnement et montré comment on peut rendre la démonstration complètement rigoureuse.

(jiialion

(-r:) =(' —av){i — ùi')(i — cv'){i — dv)\

v restera compris à rinlérieiir d'un cercle F', transformé de f. (^uand i' reste dans le cercle F', on a un certain rayon de conver- {^cnce pour Tinlrgrale f, et ce rayon a un minimum différent de zéro. Nous avons donc, en résumé, en prenant le plus petit des différents minima trou\és, un rayon p tel que l'intégrale «, qui prend en un point arbitraire z^ une valeur arbitraire, finie ou infinie, est certainement définie et uniforme à l'intérieur du cercle ayant z^ pour centre et un rayon égal à p. La démonstration est donc complétée.