IO

OÙ R(w) est un polynôme du quatrième degré dont les racines sont distinctes, est donc une fonction uniforme de z dans tout le plan. Remarquons de suite qu'il en est de même quand K(2/) est lin polynôme du troisième degré à racines distinctes : nous avons vu, en effet, qu'on passe d'une intégrale à l'autre au moyen d'une substitution linéaire (t. 1, p. 4^)* On peut l'établir aussi directement par les raisonnements du paragraphe précédent, auitquels il faut cependant apporter une petite modification. Dans le cas où u devient infinie, il faut poser

et l'on peut appliquer le théorème fondamental à Téquation en v. Une remarque importante découle de là; les pôles de u sont, dans le cas où R(w) est du troisième degré, des pôles doubles,

La propriété capitale de la fonction inverse est la double périodicité. Nous avons rappelé que Tintégrale avait deux, périodes distinctes (o et cj'; ceci veut dire qu'à une même valeur de u correspondent, en choisissant convenablement le chemin d'intégration, une infinité de déterminations de l'intégrale rentrant dans la

formule

^ -r- mtu -H m'co',

z désignant Tune de ces déterminations, m et m' représenlant deux entiers quelconques. Si donc nous posons

on aura, quels que soient les entiers m et m' positifs ou négatifs,

A ( ;; 4- m to -h m'to' ) = X( z).

La /onction 5^(5) est donc doublement périodique.

Rappelons encore que le rapport — est nécessairement iiiiagi-

naire.

9. On peut représenter géomélriquement sur le plan de la variable:» la double périodicité de la fonction \{z). Marquons d'une parties points co, 2o>, 3(o, ... et d'autre part les points co', 2co', 3(o', .... Les premiers -sont situés sur une droite Oa (O étant l'origine) et à égale distance les uns des autres, et de même les seconds sur une droite 06; par les premiers points menons des parallèles à 06 et par les seconds des parallèles à Oa. Ces deux séries de parallèles di\isent le plan en parallélogrammes égaux, et leurs points d'intersection sont les points mo>-|- m' tù' homologues (le l'origine. La double périodicité consiste en ce que la fonction reprend la même valeur aux points homologues de ces divers parallélogrammes. Il est clair que ce réseau de parallélogrammes n'est pas entièrement déterminé; l'origine O est un point arbitraire du plan et l'on peut, par consécjuent, déplacer le réseau parallèlement à lui-même.

En se reportant à la forme précédemment donnée (Cliap. VIII, p. 2i2)desdélerminations multiplesdel'intégrale(io),nous voyons (pi'à une valeur arbitraire de u correspondent deux valeurs distinctes de z^ c'est-à-dire deux valeurs qui ne diffèrent pas d'une somme de multiples des périodes. On peut encore énoncer ce résultat en disant que l'équation

APPLICATIO.NS DES TUÉORÈ.HES (iÉ.NÉKALX. SSq

Liinl une conslanle quelconque (finie ou infinie), admet deux 7 /nés dans un parallélogramme de périodes, E¥i particulier, la fonction )»(:?) a deux pôles dans chaque paral- >gramme de périodes; dans le cas où le polynôme R(w) est du îsième degré, ces deux pôles coïncident et l'on a dans chaque 'aJlélogrammc des périodes un seul pôle, mais il est double.

iO. Une remarque sur les pôles de a( 3) va nous être utile dans Jnomcnt. Écris ons explicitement Téquation diflerenlielle

^ €i un pôle dans un parallélogramme de périodes. Dans le voi- •ge de a^ la fonction // peut se mettre sous la forme