Z — IX

-ulculons les deux premiers coefficients a et ^. Eu substituai) ^^veloppement dans Téquation différentielle, on aura

■Nous devons égaler les coefficients des diverses puissances de ^~ a. On a ainsi, en prenant les coefficients de (r — flf) * et de

î-=Aaî,

Ainsi, nous trouvons pour a deux valeurs égales et de signe» ^ntraire; elles correspondent aux deux pôles distincts de la fonc- ^n dont les résidus sont, par conséquent, égaux et de signe con- *aire. Au contraire, le second coefficient ^ n'a qu'une valeur.

H. La fonction \i^z) peut bien facilement être représentée par n développement en série, et, quoique ce résultat ne soit pas *un grand intérêt pour le développement de la théorie des foncions elliptiques, nous y reviendrons un moment, puisque nous

34o CHAPITRE XII.

avons déjà eu l'occasion de Findiqucr sommairement dans l«* Tome I (p. 273).

Nous pouvons supposer que Tune des deux périodes est tnzi; il suffit pour cela de remplacer z par kz, k étant une constante convenable. Appelons donc (o et 271/ les deux périodes; la partie réelle de w n'est pas nulle, et pour fixer les idées nous la supposerons positive.

Soient a et a' les pôles de la fonction dans un parallélogramme de périodes. Je forme la série

tn ---Hao

Cette série est convergente pour toute valeur de z comme nous allons le montrer; on doit siMiIcmenl n'inarquer que si :; est de Tune ou l'autre forme

p tl q étant entiers, il y aura dans la série un terme devenant infini, et il faut entendre alors que la série est convergente quanfl on a laissé ce terme de côté.

La démonstration s'appuie seulement sur les règles élémentaires relatives aux séries. Prenons d'abord la partie de la série où //i est positif. Pour m suffisamment grand, chaque terme est comparable à e''^^, et, puisque la partie réelle de w est positive, cette partie de la série est convergente. Pour la seconde moitié de la série (m <C o), le terme de rang m pour m très grand est comparable à e'"***, et la convergence est encore évidente.

Ainsi, sans qu'il soit besoin d'insister davantage, la série représente une fonction /{z) uniforme dans tout le plan et admettant comme pôles les points des suites (1 1). Elle admet d'ailleurs évidemment les deux périodes 2izi et w. La chose est évidente pour la première période, puisque chaque terme admet cette période: quant à la seconde, elle résulte de ce que la série ne change évidemment pas quand on remplace m par m -+- i.

On voit de suite que les résidus de /(z) relatifs aux pôles a et a' et leurs homologues sont égaux et de signe contraire; ils sont res-

ctivement

r et : .

ga ga çff

T.D multipliant /{s) par une constante convenable H, nous uvons faire que les deux fonctions 5»(:î) et h /(z) aient les i^mes résidus; la difierence

^9, donc une fonction doublement périodique, qui n'a pas de pôle ^^3 un parallélogramme de périodes. Son module reste donc, ^'^s ce parallélogramme et par conséquent dans tout le plan, in- '^leur à un nombre fixe : elle se réduit donc à une constante ^I>rès le théorème de Liou ville. On peut donc exprimer la ^^^ction y^{z) à l'aide de notre série /(z),

* 2. D'après le théorème de M. Welcrstrass (Chap. V, p. i44)' ^^ ^'^ction 'k{z) doit pouvoir se mettre sous la forme d'un quotient

^s deux fonctions G[z) et G, (2) étant des fonctions entières de 2, ^ ayant pas de racines communes. On peut évidemment mettre i'une infinité de manières une fonction, telle que ^(2), sous cette forme, puisque Ton peut multiplier les deux termes de la fraction |)are''***, R étantune fonction entière. Parmi les fonctions entières, ^ont le quotient donne "^{z), il en est d'extrêmement intéressantes <]ui jouent un rôle fondamental dans la théorie des fonctions elliptiques. Les considérations suivantes vont nous y conduire très simplement.

Considérons l'expression

I ttZ I (/////* -4 pil) dz

I il) e* '• •^ =• ,

m et p désignant deux constantes, et u étant toujours la fonction doublement périodique de z définie par l'équation

1^1 -z Am»^- B/f»-»- C£/2-!- Dm — E.

3f\2 CHAPITRE XII.

Nous voulons montrer qu'on peut choisir les deux constant* et p de telle sorte que r expression (\ 2) soit une fonction en> de z.

Les pôles de u sont les points singuliers de la fonction (i?. "^^^J première intégration

/ (mu^-i- pu)dz

donnera en général un logarithme. Voyons si nous pouvons cl^^ m et p de manière que Tintégration ne donne pas de terme M rithmiquc. En reprenant les notations du § 10, nous avons

vl Ton voit que, si

nous n'aurons pas de terme on ^ : il n'y aura doncr

de logarithme aj)rùs la première intégration, cl cela pour f «-* n l'autre pôle, puisque ^ a la même valeur — , .- pour les deux | "> «^1 Nous avons donc la première relation

La seconde intégration se réduit alors à

et, par suite, elle introduit le terme logarithmique

— m%' Io{;(5 — a} -f- . . . .

Or, pour Tun et Tautre pôle, a- a la même valeur -r-> î»i donc

m a* = — I ou //i = — A,

l'expression (12) sera holomorphe dans le voisinage de z^tr* ^^ admettra a comme racine simple.

Il résulte du calcul précédent que l'on doit prendre

La fonction

rsst une fonction entière ; elle a pour racines simples tous les ^ôles de u et n^en a pas d'autres.

Si, maintenant, nous considérons le produit

lîous voyons que ce sera une fonction entière G|(5), puisque les pôles de X(z) sont racines de G{z). De plus, G(;:)etG« (z) n'ont pas de racines communes, G{z) n'ayant d'autres racines que les pôles de À(^).

Nous avons donc

13. Les fondions entières G cl G| jouissent de propriétés "cmarquables. D'après la définition même de G(z), on a

Vous avons donc

G^(.g-^co) G'(z)

X5 + (i) (ma* -T- pu)dz.

Or le second membre ne dépend pas de :;, puisque mu^ -^pu idmet o> comme période, et que d'ailleurs les résidus relatifs aux pôles de cette dernière fonction sont nuls. En désignant par [jl la valeur constante du second membre, nous aurons donc en intégrant

(i3) G(z-{-txi) = elA=-^-vG(-),

V étant, comme [jl, une constante.

On aura de la même manière l'identité

(i4) G(5-}- to') = e!^'-+v'G(5),

ul' et v' étant encore des constantes.

3f\f\ CHAPITRE \ll.

Les idenlités (i3) et (i4) expriment une propriété fondant taie de la fonction G (3). Nous sommes donc ainsi conduit à fonctions entières que Briot et Bouquet (*) appellent fonciC intermédiaires^ et dont Télude a été faite par M. Hermite ses lettres à Jacobi en i844 (^)* '^^ fonction G|(5) satisfait demment aux mêmes relations.

lin \ »

(j^j -n-^^)..- UUC-y

du

It = O, -— = I .

4K, ?.iK\

en adoptant les notations précédemmenl employées, [..es pôles

sn5 sont ( loc. cit.)

iW ci !>-K-hiK',

et toutes les valeurs qui sV*n déduisent par addition de multipl de périodes. De plus, du changement de variable eficcli

( » ) Briot el Bouquet, Tliéorie des fonctions elliptiques, p. a36.

(') Voir le Cours lilhographic de M. Hermite (Paris, HermanD, 1891).

(ic

H. Arrélons-nous sur la forme canonique, qu^ont re célèbre les travaux d'Abel ri de Jacobi; Téquation différent m ^\\q se réduit dans ce cas à

La fonction // est complètement définir par la condition que, ^:^ oiir