rz: o
Nous désignerons, suivant Tusage, par
u = su j,
cette fonction elliptique, sn v étant l'abréviation de sinam^. C^^^^^^ fonction est impaire, c'est-à-dire que sn( — ^) = — sn>j, puis l'intégrale elliptique donnant :; en fonction de u change de si quand on change u en — u.
Si l'on se rappelle les résultats obtenus (Chap. VII, p. aai), voit de suite que les périodes sont ici
ne
hap. VIII, p. 32^), on conclut
sn(z~- IK' ) — .
A- sn 5
Cherchons, à l'aide de celte formule, la valeur du résidu de z correspondant au pôle / K'. Nous devons obtenir la limite du
>duit
( z — /K' ) sn-,
ir :; = /K', ou, en posant z = / K' -h s, la valeur du produit
£ sn ( / K' -1- c ),
ir e = o. Or ce produit peut s'écrire
k snz
it la limile est manifestement y > puisque (—rr') ='• I-c î du correspondant au pôle 'aK -\- /K' est — j-
Lo. Que devient, dans le cas [>articulier que nous examinons, "onction G{z) du § 13? On a alors, en prenant ^o = <>?
-A« i dz I sn'zfiz
luette fonction entière a été d'abord considérée par M. Weier- ISS (Journal de Crelle, i856) qui la désigne par Al(z) (*). :te fonction, étant une fonction entière, peut être développée en ; série toujours convergente ordonnée suivant les puissances z. Les coefficients de ce développement peuvent se calculer llement de proche en proche, en se servant de l'équation diffélielle qui défînit sn^. On reconnaît ainsi immédiatement que coefficients des diverses puissances de z sont des polynômes A". Ce développement est convergent pour toute valeur de z ot ir toute valeur de k. Si l'on pose G| (z) = Al^ (3), le dévelopnent de A/, (3) jouira de la même propriété que le développent de Al(z),
) Briot et Bouquet, Théorie des fonctions elliptiques^ p. 465.
346 CHAPITRE \ll.
16. Terminons en indiquant un système remarquable de deui équations différentielles auxquelles satisfont A /(c) et A /| (:;). Soil
et posons, pour abréger,
Nous allons former deux é(|uations auxquelles satisfont ces fonctions. La fonction u satisfait aux deux équations
la seconde iTclant autre que la première écpialion dérivée. Dances é<|ualions, substituons
on 0 ainsi
(Vli^rl'l)'=Vv-(i4-Âi)L'*V*-4-ÂïUS (tz dz I
tiz- dz' dz dz ^ dz J '
De ces deux équations, on lire de suite, en remplaçant dans la
dV\ d\
dz dz
di 1 . d\} d\ •,11 • ,
e le produit .^ -jj lire de la première,
-[^S-v.-(fj>-[vS-m:.-(S:)'].
Les fonctions U et V étant premières entre elles (c'est-à-dire n'ayant pas de racine commune ), on déduit de là
V{z) étant une fonction entière.
APPLICATIONS DES TOÉORfeSIES GÉNÉRAUX. 3.47
Or, en désignant par w et w' les périodes de sn5, nous savons ue les fonctions U et V se reproduisent multipliées par des cxonentielles de la forme et"+^ et e^'^"^^' quand on change z en 4- w et 5 4- co'. Dans ces conditions le quotient
f/z* \ dz ) ' (l /U'\
îra une fonction doublement périodique. On en conclut que Irr mction P(2) est une fonction doublement périodique entii'ie , par suite, une constante.
La valeur de cette constante est facile à calculer; il suflit de re ^ = o, dans la seconde équation. Or, puisque
— A* / //: / *iiî; é/z
I a, pour :? = o,
az az^
ir conséquent Vf z) ^= o. I^es deux équations cherchées sont donc
..d^V ... /dV\^
fiZ^
[fl\ î
Nous n insisterons pas davantage sur les fonctions elliptiqur*;». >us n'avons pas \oulu en ce moment faire leur étude, mais prénter simplement quelques applications des théorèmes généraux ! la théorie des fonctions. Après avoir étudié les fonctions albriques, nous reviendrons plus longuement sur les fonction*^ tublement périodiques.
(iÉNÉRALlTÉS SUR LES FONCTIONS ALGEBRIQUES DTNE VARIABLE. - THÉORÈME DE M. NŒTIIER. — SURFACES DE RIEMANN.
