I. — Déflnition des fonctions algébriques; développement

dans le voisinage d'un point.

1. Nous avons déjà considéré, dans un cas 1res parlîculîer, une fonction algébrique : c'est le cas (Chap. V^, § 18) où la relation entre ii et z est de la forme

Il étant un polynôme en z. Il est in(lis|)ensable que nous approfondissions l'étude générale des fonctions algébriques. Parlons donc de la relation

y étant un polynôme en u (ti z irréductible, c'est-à-dire ne pouvant être décomposé en un produit de polynômes de degré moindre. Le polynôme est supposé de degré m en u pour une valeur arbitraire de z. Pour une telle valeur de 5, nous avons donc m valeurs distinctes de w; d'après le théorème général sur la décomposition en facteurs des fonctions de plusieurs variables (Chap. IX, §7), il existera ni développements holomorphes dans le voisinage de Zq et se réduisant respectivement pour z = z^^ aux m racines de l'équation y(w, z^) =^ o. Si donc on part en Zq avec une des racines Uq de cette équation, on pourra suivre de proche en proche la racine choisie, pourvu que le chemin ne passe pas par

FONCTIONS ALGÊBKIQIKS ULNE VARIABLE. 349

*in point où plusieurs racines de (i ) deviennent égales, c'esl-à-dire par un point critique, '^€ cas où une racine et une seule deviendrait infinie ne présente

«'icunc difficulté; on pose dans r<'*(jnatiou (i) ^/ == et Ton a l'éî'iation

cetto équation a alors une racine nulle simple.

^ rà peut remarquer que dans toute portion du plan ne contenant a»! en 1:1 de ces points critiques, le prolongement analytique de la lonction (on de son inverse, si u devient infinie) se fait toujours * ■ ^îde d'un cercle dont le rayon ne descend pas au-dessous d'un -^rtsiin minimum, et nous concluons de là que, nne fois choisie la ■^^ii^e en un point Zq de Taire limitée par un contour simple ne '^^^^prenant à son intérieur aucun point critique, l'équation (i) ^^iinit une fonction uniforme dans cette aire.

^- Nous avons jusqu'ici laissé de côté les points critiques, D'a-

P^ès un théorème déjà établi (Cliap. IX, §7), nous savons que,

^^ Celte équation a, pour z = %, n racines égales à P, elle aura,

pOur s voisin de a, n racines et n seulement voisines de p. Soient,

^^^ ^1 voisin de a.

Ces n valeurs. Si nous parlons de Zt avec la détermination 1/4 et ^ue z tournant autour de a revienne en z^J u, qui n'a pu varier <]ue très peu, sera resté voisin de ^ et se retrouvera alors en Zi avec une des déterminations (2). Si l'on retrouve ;/|, la racine considérée sera holomorphe dans le voisinage de a. Soit, dans l'hypothèse contraire, U2 la détermination trouvée; en tournant une nouvelle fois on obtiendra, soit i/|, soit une des autres déterminations {/j, ..., Un,' Dans le premier cas, on aura deux racines //| et Us se permutant autour de a; dans le second, on continuera de la même manière, et finalement on arrivera à n' racines

a,, wj, Un (ft' ^n)

se permutant circulairement autour de a. On dit que ces n' ra-

35o CHAPITRE III I.

cilles, qui pour z = ol prennenl loules la valeur ^, rormeDl un système circulaire. Si Ton pose

la l'onction ti considérée comme fonction de z' sera hoiomorplie dans le voisinage de z'= o, puisque z fait n' tours autour cle a. quand z' fait un tour autour de l'origine, l/équalioti

aura donc une racine liolomorplie autour de Torigine, et. prenant

pour z' =: o la valeur [5, on peut la développer en une sérir

entirre

Si maintenant nous revenons à la variable; z, nous auxoiis le développement

Aux /Indéterminations de[z — t.)"' correspondent n valeurs de u: ve sont les n' racines qui se permutent circulairement. Nous arrivons donc à cette conclusion :

Les racines qui pour z =i ol f/auennent égales à ^ furinenl un ou plusieurs systèmes circulaires, et les racines d'un même système circulaire sont, dans le voisinage de a, représentées par un développement de la /orme (3).

3. Le résultat précédent pourrait suffire pour la théorie générale des fonctions algébriques et de leurs intégrales, mais, au point de vue pratique, on doit se demander comment on pourra obtenir les divers systèmes circulaires et les nombres /i' correspondants. Cette étude a fait Tobjet d'un Mémoire classique de M. Puiseux (*).

Nous pouvons supposer a=:^:=o, et nous partons donc de

( • ) PuisEUX, Mémoire sur tes fonctions algébriques ( Journal de AfatUcmtttiques, t. W; i85o).

FONCTIONS ALGÉBRIQUES d'uNE VARIABLE. 35 f

ition

mettant que, pour\3 = o, l'équation ait n racines nulles. ir 5 très petit, Téqualion aura n racines elles-mêmes très s ; ce sont ces racines que nous devons étudier. t u une de ces racines : pour une valeur infiniment petite de z. es termes du premier membre de (E) sont infiniment pejtils. allons nous laisser guider par cette idée que u doit être par >rt à z d'un ordre infinitésimal déterminé. On aura alors deux îs au moins du même ordre infinitésimal, soient

A-^//? et X'z'^'ity, il que la limite de

ne quantité finie diirérentc de zéro, on conclut que u est de re de sH-, [jl élant un nombre commensurable, nécessairement leurs positif.

Ton connaissait la valeur de [jl correspondant à une certaine le, on ferait dans l'équation (E) la substitution

u = tz^,

m aurait, pour z = o, une certaine équation en l. Les racines elle équation en /, finies et différentes de zéro, donneraient acines de l'équation (E) d'ordre [x : il faut donc trouver [jl. )it

est de degré [x par rapport à c, le terme général sera d'ordre itésimal

lura toutes les valeurs possibles de y. en égalant a -h pjx à une 3 expression analogue a -f- ^'[jl, mais toutes les combinaisons ont pas acceptables. La valeur de [x donnée par l'égalité prénle doit être telle que, après avoir remplacé u par tzV- dans l'éion, les autres termes soient d'ordre au moins égal à a -f- ^[x.

Iri

IN>iii- trouver les valeurs de a, on procède de la manière suivante. Soit ;jL une valeur convenable donnée par