ji = 2'-i-3'-x

|x rt'présenlc Tinver^e du coeflicienl angulaire changé de signe de la droite joignant les deux points A et A' de coordonnées (a, ^'i el I a'. |5' ) rapportés à des axes rectangulaires Oa et 0,3. De pl«> a -h ^ifi. njprésente l'ordonnée à rorij;:ine de celte droite; jK>ur tout autre terme correspondant à

on doit n\oir

d'où Ton conclut que le point (a", Ji") doit être sur la droite A A' ou au-dessus (dans le sens des ,3 positifs).

On est ainsi conduit à la règle suivante : figurons tous les svstrmes d'exposants (a, ^3) par des points rapportés à deux axes O'JL et 0,3. Il y aura un point au moins sur Oa : soit P le point le plus rapprocht» de l'origine (,/?^''. 3()). Autour du point P, on fait tourner OP de gauche à droite, jusqu'à ce qu'on rencontre un ou

plusieurs sommets; soit A le dernier de ces sommets. Faisons tourner ensuite la droite PA, toujours dans le même sens, jiisqu^à ce qu'elle rencontre un ou plusieurs autres points; soit A' le dernier de ceux-ci. On fait tourner ensuite la droite AA' autour de A', et Ton continue ainsi jusqu'à ce qu'on arrive à l'axe Op; sur cet axe, le point ^ = n est le plus voisin de l'origine.

FONCTIONS ALGÉBRIQUES D'uNB VARIABLE. 353

Soil doQC un côté quelconque ÂÂ' dont le coefficient angulaire 9 et désignons par

termes correspondant à ce côté. On remplace u par lz\^ et Ton après suppression du facteur 5^+Pt*,

» A/P-h...4-A'rf'-t-5A(...) = o (A>o).

ur 5 = 0, nous avons l'équation en f, qui a P' — P racines difTé- Eites de zéro,

A.U côté AA' correspondent donc P' — P racines de degré infitésimal \l. En faisant la somme

K retrouve manifestement n ; donc toutes les racines sont ainsi oxivées.

4. Avant d'aller plus loin, faisons d'abord une remarque im- ^■:*tante sur l'équation (4).

Soit [X = - (la fraction ^ étant irréductible] , on a

résulte de là que p' — p est un multiple de q; d'une manière 'Vis générale, et pour la même raison, si nous avons dans l'équa-

c^n le terme

exposant P'' — p sera un multiple de q. Donc l'équation (5) est ^e équation en t*f.

Revenons maintenant à l'équation (4); en y posant

Ile devient

G) rP[.A-h... ^A'^?'-?l-i- -'^GC/, 5')--o,

P. — II. a^

X étant entier et positif et z' ne figurant qu^à des puissances entières et positives.

Si ti est une racine simple de Téquation (5), la racine / de Téquation (6), devenant égale à tt pour ^'=0, sera une fonction holomorphe de z' dans le voisinage de z' = o. Soit

et Ton aura pour u le développement

(7) u = \ei-\-az*f -hbz'f -h...Jzf.

Or ce développement a q déterminations. On voit de suite qu'il donne à la fois les valeurs de u qui correspondent aux racines

de l'équation (5) dont la puissance gr'*"** est la même. En effet, les q déterminations du développement (7), quand z tourne autour de Torigine, ne cessent d'être racines de l'équation initiale, et elles ont précisément pour parties principales

Ainsi les q valeurs de i/, correspondant à q racines simples de l'équation (5) ayant même puissance ^r'*"", forment un système circulaire représenté par le développement (7), et la séparation de ces racines est effectuée.

5. Nous devons maintenant examiner le cas des racines multiples de l'équation (5).

Si ti est une racine multiple d'ordre /• de cette équation , on aura évidemment

Posons dans l'équation (E)

u = tiZ'P-h t'.

Au lieu de Téquation entre u et Zj on aura une équation entre t' et z'. Cette équation aura, pour 5' = o, r racines nulles pour les-

FONCTIONS ALGÉBRIQUES d'uNE VARIABLE. 355

quelles Texposant correspondant est supérieur à />, puisque, pour /racines a, la partie principale est l^ z'p. Soit donc

ia fraction —, jouant le même rôle que la fraction - dans le para-

o^'aplie précédent. Si l'équation en 8, analogue à l'équation (5) ^*^ /, n'a que des racines simples, la séparation sera terminée. **Pposons qu'elle ait une racine multiple d'ordre r', on aura

^^t par suite,

gq' r S qr 1 n :

9 «t q' sont au moins égaux à un. On continuera ainsi tant que ios équations analogues à l'équation (5) auront des racines mul- ^ïples. Je dis qu'il finira par arriver un moment où cette équation *^ siura que des racines simples. Plaçons-nous en effet dans Thy- Pottèse contraire. On aurait toujours alors, à partir d'un certain **^ Ornent, des racines d'un même degré de multiplicité, et les *^Ooabres q seraient tous égaux à l'unité, condition indispensable I^^^vir que l'inégalité ci-dessus écrite soit vérifiée. Désignons par

X^remière équation à partir de laquelle cette circonstance se prêterait. Il y aurait des racines ^de cette équation que la méthode permettrait pas de séparer; en effet, une même suite de l^^'^lj'nômes en z\ de degrés indéfiniment croissants, représente- ^it la partie principale de ces racines. Mais ceci est impossible, ^^r l'ordre infinitésimal de la différence de deux racines infini- ^^«nt petites est nécessairement un nombre fini, comme le montre ^ ^médiatement la considération du dernier terme de l'équation ^Vix carrés des différences des racines; ce dernier terme est d'un ^rdre infinitésimal déterminé et la différence de deux racines est ^\i plus d'un ordre moitié moindre que celui-là. Nous sommes ^onc assuré que les racines se trouveront à la fin séparées, et elles Se trouveront divisées en systèmes circulaires, comme nous l'avions prévu a priori au § 2.

6. Donnons quelques exemples de la ihéorie précédente. Supposons qu*il y ait dans l'équation un terme en z] soit

Le polygone se composera dans ce cas d'une seule droite joigna le point a = 1 , ^ = o au point a = o, ^ = n. On aura, pour d(-^ terminer [x,

L'équation en / sera donc