PONCTIONS ALGÉBRIQUES D*UNE VARIABLE
dans la ligne polygonale, et l'on a
L'équalion en t devient
t^-h at-h b = o.
Si les racines sont distinctes, nous avons un contact de deux branches. Si les deux racines sont égales, nous nous trouvons dans le cas où Féquation (E) a une racine multiple : soit donc
/> = — . Nous devons poser, d'après la théorie générale,
a = zf -h t ,
et il vient
en supposant qu'il y ait dans l'équation un terme en ^^z*"*"*. Les termes qui renfermeront /' au premier degré contiendront au moins zP'^^ , Nous effectuerons donc certainement la séparation cherchée (dans l'hypothèse c^ o) en posant
Le cas/? =2 correspond au cas classique du rebroussement de seconde espèce.
7. Arrêtons-nous un moment sur les systèmes circulaires en lesquels se trouvent partagées les différentes racines dont nous venons de faire l'étude. Le développement peut s'écrire
M = A<5"-hB5« -h... (A^o):
a est ici un entier au moins égal a l'unité, et si, comme nous le supposons, ce développement correspond à n racines, il ne pourra y avoir réduction avec un dénominateur commun moindre que n dans tous les exposants des diverses puissances de z. An lieu du développement précédent, nous pouvons écrire
w = Ar3t+ B^a+«-i-...,
358 CHAPITRE Xllf.
le premier coefficient A, il est essentiel de le rappeler, n'étaiMi^::*»^' pas nul. Si a est supérieur à /i, nous dirons que le cycle es d'ordre n; au contraire, si a est inférieur à /i, nous dirons quT est d'ordre a. On voit que, si Ton fait sur u et z un changemen de variables linéaire, homogène et d^ailleurs arbitraire, les dévc loppements des nouvelles variables (que nous continuerons à appeler u et :;) auront leur développement suivant les puissance: de t commençant par un terme en t^, N étant Tordre du cjcle. nombre N est donc le véritable élément à considérer au point d* vue du cycle en lui-même, indépendant du choix des variables ow du sjslème de coordonnées. Les cycles d'ordre un sont particoH lièrcment simples : dans ce cas, en prenant convenablement Tun des variables, on est assuré que la seconde variable s'exprime pj une fonction holomorphe de la première dans le voisinage de l\ rigine; pour un point simple d'une courbe, le cycle correspoi dant à la branche qui y passe est manifestement d'ordre un. Fa sons seulement encore la remarque évidente, d'après ce qw .précède, que si, pour un cycle, on a les deux développements
A et A' n'étant pas nuls tous deux, le cycle sera au pi d'ordre ^ (*)•
us
8. Nous venons d'étudier la fonclion algébrique u de s dans ^^ '^ voisinage d'une valeur particulière de z, 11 nous faut maintena^^ »^^ considérer la fonction algébrique dans tout le plan. Nous allo^^^^o"* faire voir que si l'équation
de degré m en //, est irréductible, on peut, en partant toujours » ^ °" point Zq avec une certaine détermination w© et en suivant un cMT ^ixhemin convenable, obtenir en un point arbitraire z une qu»^^^^^^^' conque des racines de V équation précédente . En d'autres term ^rmnes^
(•) Pour une élude approfondie des cycles, très intéressante aa point de "= ^"^
géométrique, mais dont nous n'aurons point à faire usage, voir V Étude sut ^ 'f ^^^ points singuliers des courbes planes, par Halphen, insérée à la suite de la CZ^^^^' métrie plane de M. Salmon.
FONCTIONS ALGÉBRIQUES D^UNE YARIABLE. SSq
La fonction définie par Féquation précédente admet m valeurs en L^haque point et, par suite, Inéquation définit une seule fonction dont les m déterminations peuvent s^échanger en variant le chesnin suivi.
La démonstration de ce théorème important va résulter de suite des propositions générales établies précédemment sur les fonctions uniformes. Si la fonction avait seulement un nombre /? (/7<;/w)dedéterminatîons, toute fonction entière et symétrique de ces/> déterminations serait une fonction de z uniforme dans tout le plan et n'ayant d'autres points singuliers que des pôles (l'infini compris); elle serait donc une fonction rationnelle de z (p. 123). Les/> déterminations satisferaient donc à une équation
où (p est un polynôme en u et z^ de degré /> en i/, et, par suite, le polynôme f ne serait pas irréductible.
9. Faisons une dernière remarque sur les points à Tinfini. On peut toujours, en faisant une transformation homographique convenable, supposer que, dans la courbe algébrique
les m directions asymptotiques sont distinctes et qu'aucune d'elles fi 'est parallèle à l'axe des u. Ceci revient à dire que l'équation
^û Çot est l'ensemble des termes homogènes de degré /w, représente m droites distinctes, aucune d'elles ne coïncidant avec l'axe les u. Si alors ^i, t2, . . . , ^m désignent les m racines de
OD aura pour les m valeurs de // les développements suivants
Pi
Ui = tiZ -i- ai -h ~ -h,. . ,
Pi
Mj = /j 5 -h a, -f- i^ -h . . . ,
valables pour | z | suffisamment grand.
36o CHAPITRE XIII.
J^ajoute encore que, dans la suite, il nous arrivera consta ment d^employer tantôt un langage géométrique et de parler courbe algébrique, tantôt, au contraire, de parler de la fonction de la variable complexe z. Il n'y a aucun inconvénient à le fai les expressions géométriques de courbe, de points, d'axes el Ou pourraient toujours être remplacées par un langage anal — tique, mais qui serait quelquefois plus long et rendrait moins i tuitifs les énoncés.
