II. — Théorème de M. Nôther

10. On vient de voir que les singularités d'une fonction d'une courbe algébrique peuvent être très compliquées. M. Ne ther a démontré une proposition extrêmement importante sur réduction des singularités. L'objet de ce théorème est de faire vo qu'on ne diminue pas la généralité de la théorie des fonctions a gébriques en se bornant aux courbes n'ayant d'autres points si guliers que des points multiples à tangentes distinctes (*).

Soit /(a:, j^) = o une courbe algébrique de degré /w, dont l'o gine sera supposée un point multiple d'ordre n, c'est-à-dire n tangentes. On peut mettre cette équation sous la forme

et admettre que les axes des x et des y ne rencontrent la cour qu'en des points simples en dehors de l'origine, que les tangent^^ à l'origine ne coïncident pas avec les axes, et enfin que les direcr^ tions asymptotiques sont distinctes et difTérentes des axes.

Cela posé, effectuons la transformation j/- = ^- Alacourbe(E

va correspondre point par point la courbe (E'), de degré 2m — /•

(E') i F(Y,:r) = Y— «cp„(Y,i)

(< ) Le Mémoire de M. Nôther se trouve dans le tome IX des Mathematische

nalen. M. Halphen est revenu à plusieurs reprises sur le théorème de M. Nôl

on pourra consulter à ce sujet son Étude déjà citée sur les points singi

des courbes algébriques planes, qui forme un Appendice au Traité des co

^"nps de G. Salmon^ et où l'on trouvera toute une bibliographie de cette

*''^n aue je donne ici ni'a été communiquée par M. Simi