FONCTIONS ALGÉBRIQUES D^UNB VARIABLE

m point multiple d'ordre n! de la courbe (E), en dehors de des X et de l'axe des y^ va correspondre évidemment un multiple d'ordre n' de la courbe (E').

ai valeur a: = o sur la première courbe correspondent n vaà^y nulles et m — n autres distinctes. A ces points corresînt, sur la seconde courbe, d'abord un point multiple d'ordre X (j: = o, Y = o), à m — n tangentes distinctes, puisque, c = o,-les m — n valeurs correspondantes de jk sont différentes elles et différentes de zéro; et ensuite n points simples ou pies de Taxe des x^ déterminés par ^«(Y, i) = o. a valeur x-=co correspondent m valeurs de Y distinctes; îurs, pour Y = oo, les m — n valeurs de x sont distinctes, is avons donc substitué à la courbe (E) une courbe (E') qui, iiors de l'axe des x^ a les points multiples de la première; qui a, au point j? = o, Y = o, un point multiple d'ordre 1, à tangentes distinctes, et, sur Taxe des Y{x = o), n points ninés par 0//(Y, i) = o qui pourront être distincts ou cons.

)posons que l'équation ^«(Y, i) = o ait une racine multiple lfi à laquelle corresponde un point multiple d'ordre n!^n. une transformation homographique arbitraire

gjr ~\- h y Y Y - ^-~^- -^

^stituera à la courbe (E') la courbe de degré (2m — n)

te courbe satisfait aux mêmes conditions que la courbe (E), directions asjmptotiques sont distinctes et différentes de Elle a, en dehors des points déterminés par 0//(Y, i) = o, », des points multiples correspondant aux points multiples .), plus un point multiple d'ordre m — nk tangentes diss provenant du point :r = o, Y = o, un autre point muld'ordrc m — n k tangentes distinctes provenant du point 0, et enfin un point multiple d'ordre m à tangentes distinctes nant du point ^7 = 00.

fera sur la courbe (E|) les mêmes transformations que sur irbe (E), jusqu'à ce qu'on ait obtenu finalement une équa-

tion, telle que Çn(Y, i) = o, dont toutes les racines soient di linctes. L opération pi^ndra fin certainement ; car supp sons qu'on ait constamment n^ =z n, La courbe (E|), de de nii = im — n^ a des points multiples correspondant à ceux de courbe (E), plus deux points multiples d'ordre (m — n) à tai gentes distinctes équivalant à (m — n){m — n — i) points don blés, et un point multiple d'ordre m à tangentes distinctes équiv-%

lant à — points doubles.

La courbe (E2), de degré m.i= 2m t — /i, présente, par rapp à (E|), les mêmes différences que (E|) par rapport à (E).

Finalement, en désignant par d/^ le nombre des points doub de la courbe Ea, correspondant aux points multiples à tange distinctes successivement introduits, on aura

/ V^ f/ m/ (m, — 1)1 dji= 2^ \(mi— n)(mi— n—i)-^ >-^ •

Or on a

donc

(/^.= -(m — ny -^(m — n) (2*— 1 H- A* -^^ —

La différence de ce nombre et du nombre maximum des poiMils doubles, pour une courbe irréductible de degré m*,

est

Cette différence deviendrait positive pour k suffisamment grand, ce qui est impossible (*); il faut donc que n diminue ju^*

(*) Nous admettons ici le théorème de Cramer qu'une courbe de degré m iT^

réductible ne peut avoir plus de — points doubles ou un nombre

de points multiples à tangentes distinctes équivalent à ce nombre de points doubles en regardant un point multiple d'ordre A' à tangentes distinctes cofflm^

équivalent à points doubles. On trouvera des eiplications sur ce sujet

dans le dernier Chapitre de ce volume relatif aux courbes unicarsales.

PONCTIONS ALGÉBRIQUES d'dNE VARIABLE. 363

(\uk devenir égal à Tunilé (*). 11 arrivera donc un momenl où le point multiple, à Torigine de la courbe primitive, aura élé remplacé , dans la courbe transformée , par des points multiples d'ordre moindre, et cette transformation n'a introduit par ailleurs que des points multiples à tangentes distinctes. On peut aller ainsi de proche en proche, et Von arrive ainsi à une courbe qui n a plus que des points multiples à tangentes distinctes.

11. Appelons, d'une manière générale, transformation birat tonnelle une transformation de la forme

V et Q étant des fonctions rationnelles en x et y^ et où Ton a inversement

Pi et Qi étant rationnelles en X et Y. Si la transformation (8) est susceptible de prendre la forme (9) pour tout point {x^y) du plan, nous dirons que c'est une transformation birationnelle de plan à plan ou de Cremona, Mais une autre circonstance pourra se présenter; il est possible que l'on ne puisse passer de (8) à (9) qu'en tenant compte de ce que le point {x^y) se trouve sur une certaine courbe f(^x^y)-=o. En désignant par F(X, Y) = o l'équation de la courbe transformée, on dit que les courbes y* et F se correspondent point par point; mais cette correspondance n'est pas établie par une transformation de Cremona. Ainsi, la transformation

conduit à une transformation birationnelle de courbe à courbe, pour toute courbe n'ayant aucun des axes de coordonnées, supposés rectangulaires, pour axes de symétrie.

(') On aurait pu arriver autrement à ce résultat, en montrant que la séparation des racines de l'équation primitive s'annulant pour x = o ne pourrait jamais être efTcctuée si n ne finissait par devenir égal à l'unité, ce qui serait en opposition avec les résultats de Puiseux.

On énoncera de la manière suivante le théorème de Nôther

On peut toujours, par une transformation de Cremoncr^:^ transformer une courbe algébrique quelconque en une autt^ ni! ayant que des points multiples à tangentes distinctes.

12. Nous allons essayer maintenant de faire un pas de plus, ^ ^

ramenant tous les points multiples à être des points doubles. Pr ^ — =>j çons à l'origine un des points multiples de notre courbe

et soient

S| = o, Sj=o, Ss=o

les équations de trois coniques quelconques uniquement assuj ties à passer à Torigine. Il est entendu, une fois pour toutes, les coefficients dans Si, S2, S3 sont des lettres arbitraires. Pos

i Y ^ hS^ml.

A la courbe proposée correspond, par la transformation C -^^)»

une courbe

11 est d'abord facile de voir que les courbes y et F se cor ■:*^spondent point par point, c'est-à-dire qu'à un point arbitraire ^^ l'une quelconque d'entre elles correspond un seul point de l'am* •-'^ et inversement. Il faut donc montrer qu'à un point arbitraire ^<* la courbe F ne correspond qu'un seul point de/. A un système "^ valeurs de (X,Y) correspondent, par les équations (2), ircp^^ points {jo,y) en outre de l'origine. Sur ces trois points, un se^--"' est sur la courbe f quand (X, Y) est arbitraire sur F. Il sufff ^y pour s'en assurer, d'envisager un cas particulier; si la chosealiV ^' dans un cas particulier, à plus forte raison aura-t-elle lieu quan^^ les coefficients de S seront arbitraires. Or prenons pour S|, Sj, S ^ trois coniques passant à Torigine et ayant deux autres points com muns A et B non situés sur f, soit

Si— <j|, Ss=9s, Si = 9a.

FONCTIONS ALGÉBRIQUES d'uNB YARIABLE. 365

i deux coniques

un système de valeurs données à X et à Y, ont, en dehors de ne, comme points communs les deux points A et B et un îme point a. Ce dernier point seul appartient à f [le (X, Y) étant, bien entendu, situé sur F]. Dans l'exemple ous venons de prendre, la transformation S est birationnelle n à plan, mais peu importe. Si Ton prend un exemple voicelui-là,

Icsignant des coniques quelconques passant à l'origine, tout ^arié très peu en passant d'un exemple à l'autre si la cône est très petite, et des trois points communs aux deux coj

( J:,-4-£J3)X — (J, -l-Sj'i ) - O,

(^3-^£Ti) Y — (j,-4- n\) = o,

) étant sur la courbe F' obtenue par la transformation (la-

diffère très peu de F), un seul sera sur le courbe /, puis- !n est ainsi pour e = o.

conséquent, pour une transformation de la forme précéà coefficients arbitralveSy nous aurons un seul des trois

(^x^y\ correspondant à un point arbitraire (X, Y) de la : transformée F, qui sera silué sur/(x, ^'). i posé, cherchons quel est le point correspondant à Tori- 3n aura, si ce point est un point multiple d'ordre q à tandistinctes, q poinls simples distincts. Les autres points mulseront restés du même ordre de multiplicité, ctleurs tangentes )nt distinctes. Mais cette transformation aura fait naître des

doubles; ils correspondront aux points distincts (-r, j^') ) dey, pour lesquels on aura

"^^^^^yJ — .5ili^'^ = S3(.r, J^)

xislera bien de tels couples de points puisqu'on a quatre DUS à quatre inconnues pour les déterminer. Il faudrait

366 CHAPITRE Xllf.

voir nettement que les solutions de ces équations seront simpl — et s'associeront seulement deux à deux pour former des poin doubles à tangentes distinctes en supposant bien entendu que l coefficients de S|, S21 S3 sont absolument arbitraires. La cho n'est pas douteuse, mais je ne vois guère le moyen de la metti en évidence de manière à éviter toute objection, quoique des ra sonnements par continuité, analogues à celui que nous avons fa plus hauty puissent rendre l'assertion plus que vraisemblable.

Si l'on passe sur la difficulté que nous venons de signaler, on vo -^^n^BBit que, en opérant de proche en proche, on arrivera à une courl^^i^Se n'ayant plus que des points doubles à tangentes distinctes {* ).

Au surplus, dans toutes les théories que nous allons expose r,

il importera peu que la courbe n'ait que des points doubles poum^av^^u que tous ses points multiples soient à tangentes distinctes.

13. Nous supposerons dans la suite que la courbe n'ait q des points multiples à tangentes distinctes et que les axes n'occ peut aucune position particulière par rapport à la courbe (^). Si toujours

l'équation de la courbe supposée de degré m. La fonction al|

brique jK de x définie par cette équation aura un certain noml ^ J^

de points de ramification^ c'est-à-dire qu'il y aura un certâ^B- ^n nombre de valeurs de x autour desquelles deux valeurs de^ ^^

permuteront. Ces valeurs de x sont celles pour lesquelles d^ mL^\ valeurs de y deviennent égales, abstraction faite des valeurs d^^ ^ correspondant aux points multiples, pour lesquelles, les brsi^ '■^^ ches étant distinctes, aucune permutation ne se produit. t-*^s points de ramification correspondent donc aux points de cont^^* des tangentes à la courbe parallèles à O^. Soit (a, b) un «^^' point ; l'équation de la courbe peut s'écrire

(•) Halphen, dans le Mémoire que nous avons cité, arrive à ce théorème sa»* signaler môme l'objection à laquelle nous venons de nous arrêter.

(') Rieniann ne suppose pas que Téquation f{x, y) = o soit du même de^ré en y et en x. Il n'y a pas à cela d'intérêt pour la théorie générale; il en est attirement pour certaines applications. Nous y reviendrons au Chapitre XVI (Sect. I^" )-

FONCTIONS ALGEBRIQUES d'uNB VARIABLE. 'i6j

A ne sera pas nul, puisque Oy occupe une posilion arbitraire par rapport à la courbe. On aura donc bien

et l'on voit clairement la permutation des deux racines qui deviennent égales à b pour x ^a. Le nombre des points de ramification sera rnanifestement égal au nombre des tangentes à la courbe parallèles à une direction arbitraire, c'est-à-dire à la classe de la courbe.

Supposons que la courbe ait a,- points multiples d'ordre i à tangentes distinctes; on sait {') que la classe sera égale à

et par suite, en appelant iv le nombre des points de ramification, on aura

la somme V étant relative aux différentes valeurs de i (i ^ 2),