IV. — Différentiation sous le signe d'intégration

18. On rencontrera souvent, dans les applications, des fonctions F(a) d'une variable a, représentées par des intégrales définies

fi et b étant, soit des constantes, soit des fondions «le a.

Cherchons comment on pourra former la dérivée de cctt<' expression par rapport à a.

Nous supposerons d'abord que a et b ne dépendent pas <le 7. On a alors

F(a-+-Aa)-F(a) :^ r [/(.r, a - Li) ^f(r, %)\dx\

3o IXTÉGRàLES SIMPLES ET Xl'LTlPLES.

el, par suite,

Aa - ,/, Aa

Cela posé, nous supposerons d'abord que la fonction /(x, a) ail une dérivée partielle /a(^r, a) par rapport à a, d'où l'on conclut

F(a- ^ Ag)— F(g) Âg

a-hfi\a)dx, o<6<i.

INous supposerons ensuite la fonction /^^C*^? *) ^^''^ que, x t'*tant quelconque entre a et t, on puisse déterminer une quantité positive Ti telle que pour

I Ag I < T,,

on ait

|/;(:r,g-^Ag)-/;(T,a)| < e,

£ étant une quantité positive donnée à l'avance aussi petite qu'on voudra. Dans ces conditions, on aura évidemment

Ainsi donc, pour former F'(a), // suffira de différentier sous te signe somme /{x, t.) par rapport à a.

La condition requise se trouvera vérifiée si la fonction /(x^ol) a non seulement une dérivée première, mais aussi une dérivée seconde par rapport à a; la formule de Taylor donne en effet

/;(r, a -T- Ag) — /i(x, g) = Ag/Î,(x, a 4- Ag ) ;

donc, en supposant que^^, est finie, on peut satisfaire à l'égalité demandée.

Un second cas à signaler est celui où la fonction y^(x, a) des deux variables x et a sera une fonction continue de ces deux variables par rapport à ;r et a, quand x variera entre a et 6, et a dans un certain intervalle (a', ^'); c'est ce qui sera démontré plus lard. Ce point nous sera en effet utile quand nous établirons la notion d'intégrale double : nous nous contenterons d'énoncer cette propriété d'une fonction continue de deux variables qui sera établie au Chapitre IV (§ 2).

INTÉGRALES DÉFINIES. 3l

Nous avons, dans ce qui précède, supposé que a el h élaienl des constantes ; supposons-les maintenant fonctions de a. On ramènera ce cas au précédent au moyen d'un changement de variables qui rendra constantes les limites de Tintégralo. Posons à cet effet

X =(b — a)t -r- a\ l'intégrale devient

En appliquant la règle précédente, on a

/i[(f.-s-si<-«>'">

revenant à la variable x, nous aurons

Vdb da

ou encore

C'dfXdi doL , ^/f/ .

db da

PC,./ 'i-'-%^T'l [/.x,.;-<«-«.f ]^-

da^ r dt J

les deux dernières intégrations s'effectuent immédialemeni, et Ton arrive enfin à la formule

qui exprime la règle de différentiation dans le cas général.