Les règles précédentes impliquent essentiellement que la

fonction sous le signe d'intégration reste finie entre les limites. Ainsi, considérons l'intégrale définie

(ijr

(jui a une valeur déterminée, mais dont l'élément devient infini pour j- --^ o et pour ^ =: a.

On ne peut appliquer à cette expression la règle de différenliation par rapport à a : en l'appliquant, on obtient une différence, n'ayant aucun sens, de deux termes infinis.

Si l'une des limites de l'intégrale devient infinie, l'application des règles précédentes peut encore conduire à des résultats illusoires. Considérons, par exemple, l'intégrale

f" sinaj* ,

OÙ nous supposerons a]>o; le changement de variable 7.j'zz=y ramène cette intégrale à la suivante

([ui, nous l'avons dit, a un sens parfaitement déterminé. L'intégrale (7) ne dépend donc pas de a; mais, si nous la différen lions par rapport à a, en appliquant la règle, nous trouvons

/ cosavTr/r,

intégrale qui n'a aucun sens.

Ce résultat n'a rien qui doive étonner. I^es hypothèses faites, en démontrant la règle de la différentiation sous le signe d'intégration, reviennent à supposer qu'on peut prendre Aa assez petit pour que le quotient

/( j», a -+- Aa) - -/{x, a ) Âô

diffère dc/aC-^? *) ^® moins de s, et cela pour toute valeur de .r comprise dans le champ d'intégration. Ici, il faudrait donc pouvoir

dëlerminer Aa de façon à avoir

sin(a -t- Aa)a7 — sina:r

T.Aa

= cosaa?-+-T, , I 7j I <£

pour toule valeur positive de x] or, pour x très grand, le premier membre est très petit, tandis que le second est indéterminé.

Ainsi quand la fonction ou les limites deviennent infinies, on ne devra pas appliquer sans précautions la règle de différentiation. Voici, du reste, une remarque générale relative au cas où l'une des limites devient infinie.

Considérons l'intégrale

V(a)-- / f(x,x)dx.

a étant, pour simplifier, une constante. Supposons réalisées les deux conditions suivantes : i° à partir d'une certaine valeur de x, f{Xj a) et la dérivée f^{x^ a) sont en valeur absolue moindres

que ^» M étant une constante positive, n un exposant supérieur

à l'unité*, 2® étant donné un nombre s aussi petit que l'on voudra, on peut, pour toute valeur de x comprise dans l'intervalle («, /) fini mais quelconque, trouver une quantité A telle que, pour toute valeur /t|, de module moindre que A, on ait

|/i(^, a-4-Ai)— /(i(j:-, a) |

Nous allons établir qu'on pourra, dans ces conditions, appliquer H la fonction V(a)la règle de différentiation démontrée plus haut.

Je remarque d'abord que les deux intégrales / /{x, 0L)dx et I J'ol{^} ^)dx ont un sens bien déterminé. Or on a

AV r*

ou, en la partageant en deux parties.

AV Aa

= / /«(-^i ^^-O-^*)^-*- / /(i(ar, a-h6A«) <ir.

On peut, en vertu des hypothèses faites, déterminer / de façon P. - I. 3

que l'intégrale

-Mrfj-

soit inférieure à s. On aura donc