n\n -\-\) \ étant compris entre a et b

Comme seconde application, nous prendrons

g{x) -= (x -^ aY {x -\- by \

l6 INTÉGRALBS SIMPLES ET MULTIPLES.

la formule se réduira alors à

Le premier terme de celte relation sera nul, si /(x) est un polynôme, d'ailleurs arbitraire, de degré {n — i), et, par suite, nous avons, en posant

OÙ A. est une constante,

f f{x)Vn{x)dx = 0.

Vn{oc) est un poljnôme de degré n cl /(^), je le répète, représente un polynôme arbitraire de degré n — i . La relation précédente exprime une propriété remarquable du polynôme P^C^) de degré n\ nous allons montrer qu'elle le défînit complètement à un facteur près. Supposons, en effet, qu'il y ait un second polynôme Y;i de degré /i, tel que

/ f{x)\ndx=zO'.

on aurait, C étant une constante arbitraire,

J iPn-CYn)Aa:)dx = o.

Or on peut choisir C de manière que P;j — CY;, soit de degré n — 1 . Nous pouvons alors prendre, le polynôme /(x) étant arbitraire.

Cl nous aurions

f (P„-GY„)Wj7 = o,

ce qui entraîne nécessairement P,, — CY;, = o pour loule valeur de X'^ donc Y^ ne diffère de P^, tjue par un facteur constant.

INTÉGRALES DEFIMES.

On aura en particulier

P//1 P/i dx = o si m /^ n.

De celte seule égalité on peut conclure une relation remarquable entre trois polynômes P;, consécutifs. Pour définir complètement ces polynômes, supposons que le premier coefficient clans chaque polynôme soit Tunité. On aura évidemment

1rs C étant des constantes déterminées par cette identité même. Je dis que

Multiplions en effet par Vn^^dx les deux membres de Tidonlité et intégrons entre a el h \ nous aurons

Le multiplicateur de Cj étant une somme de quantités de même signe n'est pas nul ; il faut donc que Cj = o. Pareillement, on verra que C3, . . . , C,, sont nuls, on multipliant par P„ . 3, . . . , Po ridentité écrite plus haut. 11 reste donc

r'est la relation entre trois polynômes consécutifs P;i i, P/,, \^n-\-\ que nous voulions obtenir, et qui est fondamentale dans la théorie «le ces polynômes.

11. On pourra souvent faire avec profil, dans une intégrale «léfinie, un changement de variable. Imaginons <lonc que dans rinléffrale

I - / /(x)clx

on considère x comme une fonction îp(/) d'une variable /; nous allons supposer d'abord que, lorsque t varie d'une manière continue et dans le même sens de /« à T, x varie aussi d'une map. — 1. 2

l8 INTÉGRALES SIMPLES ET MULTIPLES.

nîùre continue et dans le même sens de a k b. Si Ton substitue la variable t à la variable x dans la sommation, par quelle nouvelle sommation reprëscnlerons-nous la valeur de l'intégrale?

Pour le voir, partageons l'intervalle de /o à T en n intervalles correspondant aux valeurs /|, /i, ..., ^;j i ; soient Xi, j:2> ...,X/f i les valeurs correspondantes de x. On aura, d'après le théorème des accroissements finis,

6~ar„>, = (T-/«-i)f(Ô„),

6/ d'une manière générale étant compris entre //i et /,-. Nous désignerons par $1 la valeur de x correspondant à / = 0, : Ç/ sera compris entre Xi i et xi. Je forme alors la somme

qui deviendra l'intégrale I à la limite. On peut l'écrire

(/i-^o)?'(Oo/[?(e,)]-...-+-(T-/„o?'(0«)/[?(0«)],

et, quand tous les intervalles tendent vers zéro, cette somme devient

Ainsi donc, pour effectuer le changement de variables dans une intégrale définie, on remplace simplement x par ç(/) cl clx par o'(t)dt et l'on prend comme nouvelles limites les valeurs de / correspondant aux limites primitives.

Nous avons supposé, dans ce qui précède, que, / variant dans le même sens de to k Tj x variait lui aussi dans le même sens de a à b. Cette restriction est inutile, pourvu que la fonction /(.r) soit continue pour l'ensemble des valeurs que prend x=^'f(t) quand t varie de t^ à T. Admettons en effet que, / variant d'une manière continue et dans le même sens dans cet intervalle, la fonction X =^^{t) varie d'abord dans le même sens de Cq k t^j et soit ar| = '^(/i); puis supposons que, t variant ensuite de /| à /j, x varie dans un sens toujours le même, mais différent du précédent,

INTÉGRALES DÉFÎMES. I9

depuis Xi jusqu'à x, = ^(/2)» cl qu'enfin, / variant de /a à T, x varie de ^2 à 6 dans les mêmes conditions. Les valeurs x^ et ^2 pourront d'ailleurs ne pas être comprises entre a et b. On aura, d'après ce qui vient d'être démontré,

f /{x)dx= f'/{f)o'(t)dt,

f 'f(x)dx= r/(?)o'{/)rf/,

f f{x)dx= Ç /{<f)<f' (l)dl;

et, par suite, en faisant la somme,

JL 1"

f f{x)dx= f /(o)o'{t)dl.

Cette formule est donc générale.

On ne doit pas oublier que, dans ce qui précède, la fonction X =■ f (^), servant à effectuer le changement de variable, est une fonction de / ayant pour chaque valeur de t entre /o et T une valeur unique parfaitement déterminée. L'application brutale de la formule précédente, sans se rappeler les conditions pour lesquelles elle a été établie, peut conduire à des résultats absurdes. Que l'on prenne par exemple

dx

et qu'on fasse sans précaution le changement de variable x^ = /. Comme pour x = =h i on a / ^:=: i , et que dx ^^ — ^» on sera con* duit à l'intégrale

*' dt

c'est-à-dire à zéro, ce qui est absurde. Il est manifeste que nous ne sommes pas ici dans les conditions précédemment supposées.

rv. — Extension de la notion d'intégrale définie. — Cas où la fonction et où les limites deviennent infinies.

12. Dans rélude que nous avons faite des intégrales définies, nous avons supposé que la fonction sous le signe d'intégration restait finie entre les limites et pour les limites elles-mêmes. Nous allons étendre la notion d'intégrale définie en supposant que la fonction devienne infinie, soit pour Tune des limites, soit entre ces limites.

Considérons donc l'intégrale

(5) / f{x)dx,

f{x) étant une fonction réelle de la variable réelle x, et supposons' que cette fonction, finie pour toute valeur de x comprise entre a et 6, devienne infinie pour x=. b. Dans quel cas devrat-on attribuer un sens au symbole précédent? Pour répondr<' à cette question, envisageons l'intégrale

la limite supérieure x étant comprise entre a et b : elle a un sens parfaitement déterminé. Si, x tendant vers A, celte fonction de x a une limite, celle-ci sera par de finition la valeur de l'intégrale ( .")). Un exemple simple montre qu'une pareille limite peut exister. Soit en eflel

k étant positif; on aura

dx {h — a)^-^' (b — X )'-*

{b — xf \-~k I - k

Si A* < I, le second membre tend vers une limite, et l'on pourra intégrer f{x) entre les limites a et b. Si au contraire A* > i , l'intégrale n'aura pas de limite pour x = b. Pour fixer les idées, nous supposerons dans la suite a <C b.

INTÉGRALES DÉFÎMES. 21

13. Il n'existe pas de règle générale permet tan l de reconnaître dans quels cas l'intégrale aura une limite. On peut trouver des règles d'une application de plus en plus étendue, mais on ne saurait indiquer une règle générale, de même qu'on ne peut indiquer un théorème applicable à toutes les séries, pour décider de leur convergence. Ici encore, comme dans la théorie des séries, on comparera l'intégrale à étudier à une autre que l'on sait avoir une limite.

Nous avons donné tout à l'heure un exemple simple; considérons maintenant un cas plus compliqué en supposant que la fonclion/(x) puisse de a k b être mise sous la forme

çp(j:) restant finie dans le voisinage de b el pour x =■ b (sans avoir d'ailleurs nécessairement une valeur déterminée pour a: = b). Je dis que, si k est inférieur à Inimité y l'intégrale (5) aura un sens déterminé.

Prenons une valeur a entre a cl b\ nous aurons, si x est compris entre a et 6,

(<V> f A^)c/x --. f fy^x)dx ^ f f{x)dx.

la seconde intégrale pourra s'écrire

; est compris entre a et ^ (§ 3). Par hypothèse '^(ç) est inférieure en valeur absolue à une quantité fixe M. Le second terme du second membre, dans ((>), est donc inférieur en valeur absolue à

^— ^ ^ Or, étant donné un nombre positif e aussi petit qu'on

voudra, on peut prendre a suffisamment voisin de b pour satisfaire à l'inégalité

a étant ainsi choisi, Tintégrale

quand x varie entre a et 6, sera comprise entre A-f- e et A — e, si nous posons

A= r f(x)dx.

Nous donnant alors un nombre e' inférieur à s, nous choisissons a' entre a et 6, de telle sorte que

Quand x variera entre il et t, l'intégrale I restera comprise, nécessairemenr, d'une part dans l'intervalle (A + £, A — e) considéré plus haut, et aussi dans l'intervalle (A'-|- e', A' — s'), en posant

A'= / f{x)dx.

Ces deux intervalles ont nécessairement une partie commune plus petite que le premier d'entre eux, puisque A' est compris dans l'Intervalle (A — s, A + s) et que e'<Ce. Choisissant alors une succession de nombres e décroissant et tendantvers zéro, nous aurons, en considérant successivement ces parties communes, une suite d'intervalles tous compris les uns dans les autres et tendant vers zéro. Leurs extrémités tendent donc vers un point limite, et par suite les intégrales A, A', . . . ont une valeur limite : ce sera la valeur de l'intégrale I pour x = b. Le théorème est donc démontré.

A ce théorème joignons une proposition en quelque sorte inverse et qui fait connaître un cas où l'intégrale n'aura pas de limite.

Si Ton peut mettre /(j;) sous la forme

fia:)- ?^^)

k étant supérieur à l'unité, et ^{x) restant, dans le voisinage de ^, supérieur à une quantité positive M, ou inférieur à une quantité

négative — M, M étant diflerent de zéro, V intégrale prise de a à b n'aura pas de sens.

La démonstration est immédiate, car on aura, en désignant par a une valeur suffisamment voisine de b,

la quantité entre crochets augmente indéfiniment quand x tend vers 6, puisque A' est plus grand que i; d'autre part, ç($) est supéri eur à M en valeur absolue. Donc l'intégrale grandira sans limite.

14. Nous avons supposé que la fonction devenait infinie pour une limite de l'intégrale ; si elle devient infinie pour une valeur c comprise entre a et 6, on partagera l'intégrale définie en deux autres. Chacune des intégrales

I /{x)dx et i /(x

)dx

devra avoir un sens, et l'intégrale prise de a à 6 sevdi^ par déjinition, la somme des deux intégrales précédentes.

Ajoutons une remarque importante. Si/(:r), discontinue pour j- = c, est la dérivée d'une fonction F(j:) continue pour cette valeur et ayant une seule détermination, on aura

Ç /(x)dx = F(c)-F(a),

puisque cette intégrale est la limite F(c — e) — F(«) quand la quantité positive e tend vers zéro. On aura pareillement

J /(x)dx = F(b)-F{c),

et enfin

f /{x)dx = F(b)-F{a).

IS. Considérons maintenant le cas où l'une des limites de l'intégrale, la limite supérieure, par exemple, devient infinie. Soit

toujours l'intégrale

* rt

f{x) étant une fonction continue pour toute valeur finie de x supérieure à a. Si, lorsque x grandit indéfiniment, les valeurs successives de cette intégrale tendent vers une limite, on la représentera par le sjmbole

Un exemple simple nous est fourni pary(j:)= — • On a (nous supposons fl > o)

dx .r-"-*-» ^-/n-i

Si /i > I , le premier terme devient nul pour j: =. oo , et l'intégrale a une limite. Si au contraire /i <^ i , l'intégrale n'aura pas de limite; il en sera de même pour/i = i, car l'intégration donnerait alors un logarithme.

Ici, comme plus haut, la comparaison àe f{x) à une fonction pour laquelle on sait comment se comporte l'intégrale quand x grandit indéfiniment conduit à une régie qui pourra quelquefois permettre de décider s'il j a ou non une limite. Nous pouvons être bref après les explications données (§ 13); à l'aide de raisonnements analogues, ou démontrera les deux théorèmes suivants:

Si, pour X suffisamment grand, f{x) peut se mettre sous la

forme ,^ > o{x) restant en valeur absolue inférieur i) une

quantité fixe, et n étant supérieur à V unité, l'intégrale I aura une limite pour X =zx>. Au contraire, sif{x)peut se mettre sous la forme précédente, ^(x) étant, à partir d^une valeur de Xy toujours supérieur à unequantité -f- M ou inférieur à une quantité — M (M n^ étant pas nul) et n étant inférieur ou égal à l ' un ité, l ' intégra le na ura pas de lim ite.

16. Nous aurons souvent à appliquer les théorèmes des §§ 13 et 15 : quand la fonction sous le signe d'intégration est algébrique.

ils permettent toujours de décider si l'intégrale considérée a ou non une limite. Ainsi, étant donnée une fraction rationnelle irréductible 4W.> rintéffrale

augmentera indéfiniment, quand x tendra vers une racine de F(t). Soit en efTel b une racine de F(x), la fraction rationnelle pourra, dans le voisinage de 6, se mettre sous la forme

o(x) étant fini et différant de zéro pour x = t, et n représentant un entier positif au moins égal à Tunilé. Prenons au contraire

P{T)dx

P et R désignant deux polynômes. Quand x tend vers une racine simple b du polynôme li{x)j on peut, dans le voisinage de x=z b, écrire

V^RÏ^ (0-x)^'

ç(x) restant fini pour x =^ b. L'exposant k (§ 13) est ici égal à ^ : l'intégrale aura donc un sens.

Voici encore une remarque importante, relative au cas où la limite supérieure augmente indéfiniment. Quand l'intégrale la une limite, /(x) a nécessairement zéro pour limite lorsque x croît indéfiniment, si toute/ois elle a une limite. En effet, si f{x) tendait vers une limite M^ o, cette fonction serait, à partir d'une certaine valeur r/, supérieure à un nombre fixe Mi; par suite,

et l'intégrale grandirait indéfiniment avec x,

il n'est d'ailleurs pas nécessaire que/(x) tende vers une limite, quand x augmente indéfiniment, pour que l'intégrale ait un sens.

C'est ce que montre Tinlégrale suivante, célèbre dans la théorie de la diffraction de la lumière :

Cette intégrale a un sens, quoique sina:^ n'ait aucune limile pour :c = 00. Nous l'établirons en construisant la courbe représentée par l'équation

y = sina:'',

qui est formée d'arcs situés alternativement au-dessus et au-dessous de l'axe Ox, Nous montrerons que l'intégrale proposée a une limite, en établissant que la somme algébrique des aires des segments limités par ces arcs cl Taxe Ox lend vers une limite. Ces aires sont alternativement positives et négatives, puisqu'elles sont alternativement au-dessus et au-dessous de Taxe des x. Nous avons donc une série alternée : il suffit de faire voir que les aires vont en décroissant en valeur absolue et tendent vers zéro. Or le /i'*^'"® et le (/i 4- 1 )'*'"*' segment sont respectivement représentés par

sïnx^dx et / s'inx^dx.

Cette seconde intégrale est, en valeur absolue, moindre que la première : car, si Ton pose x^ = Tz-i- x'^, elle devient

\^ftTZ

^[n-hlilZ ^

sin a:* - dx.

D'ailleurs le segment de rang n tend vers zéro, car il est moindre que l'expression

qui tend vers zéro quand n augmente indéfiniment.

Comme autre exemple d'une intégrale où la considération d'une série d'aires joue un rôle utile dans la démonstration de l'existence de la limite, citons encore

sinx , — - ax,

Des raisonnements analogues à ceux que nous venons d'employer permettent sans peine d'établir que cette intégrale a un sens.

17. Cauchy a donné une règle élégante de convergence de certaines séries, qui se rattache aux intégrales dans lesquelles la limite supérieure devient infinie.

Soit/(jc) une fonction, positive à partir d'une certaine valeur de j:, continuellement décroissante et tendant vers zéro quand x augmente indéfiniment. La courbe yz=zf(^x) admet l'axe des x pour asymptote, et il pourra arriver que l'intégrale

f{x)dx

ait ou non un sens. Si, alors, on considère la série

cette série sera convergente ou divergente, suivant que rintégrale précédente aura ou non un sens.

Si en cfTet l'intégrale / f{x)dx a une limite pour x = oc,

comme la somme des rectangles intérieurs construits avec la base un et les hauteurs respectives /"(a), /(3), . . . , /(n) est moindre que l'aire comprise entre la courbe, l'axe des x et la droite x = i , on est assuré que la somme

reste inférieure à un nombre fixe, et la série est par suite convergente. On raisonnera de la même manière dans le second cas, mais en prenant les rectangles extérieurs à la courbe : la somme

est alors supérieure à une aire qui augmente indéfiniment; la série sera donc divergente.

Soit, comme exemple,

OU devra considérer rinlégrale

elle lend vers une limile pour x= ce quand /> > i ; la série dont

le terme général est — est alors convergente. Elle divergera au

conlraire si />^i .

Prenons encore la série éludiée par Abel (Œuvres complètes, t. 1, p. 399):

•2 loga * ' n logw elle est divergente, car Tintégrale

augmente indéfiniment avec u\ Abel cite cetle série comme exemple d'une série di\ergenle à termes positifs,

|)our laquelle le produit nu,i a zéro pour limile.

En restant dans le même ordre d'idées, on pourra souvent déterminer la limite d'expressions de la forme

les entiers n et/? augmentant indéfiniment, la fonction J\j.') satisfaisant d'ailleurs aux mêmes conditions que plus haut. La considération des rectangles intérieurs et extérieurs inscrits dans la courbe conduit de suite aux inégalités

/(w-i-lj-1 ...-i /(/l-i //)< / f{X)f/x\

x^ dx.

donc

/ SK^)dx-\ J{n) >S„ > / f{T)dx-^f{^n -p),

'Il ^ n

el par suite la recherche de la limite de S,^ reviendra à celle (h*

lim / S^^) dx.

Soil, par exemple, /(x) =: -, on aura

n n -\- \ Il -^ p

el comme

on aura, p et n augmentant indéfiniment de telle sorte <|uc

limSÎI = logd -T- a ); en particulier, si p =^ n^ nous voyons que la limite de

// /i -t- 1 'xn

pour /î = Qo est égale à Iog2.