II

j d^x(\^z-'Cy+ï>)^d^y{Cx — \z->rE)

^d^zi\y— B^-+-F) = Va 4- BP-4-Cy,

en posant

X = d^y dz - d^z dy^ ^ — d'^zax — d'^x dz, y = d^x dy — d>y //j

Les équations (lo) et Téquation (i i) donnent

B^ — G^H-Brr-

Cx— A;;-4-E=-

A7— Ba? -hF = —

( Aa-h

Bv

CY)a

(AaH-

Gt)P

(Aa-^

Cy)y

En multipliant ces équations par Â, B, C et ajoutant^ nous

avons

( AD -+- BE -f- GF)o = — ( Aa 4- Bp -+- Gy)*.

La constante AD-l-BE-f- CF n'étant pas nulle (Chap. XI, § 19), on voit qu'alors l'équation 8 =: o se met sous la forme d'une équation qui est un carré parfait

{ki^d'^y dz — d"^ z dy) -¥ B(d*z dx — d^x dz)

-+- C{d*x dy — dx d^y)y = o.

Il est facile d'aller plus loin. On a en effet (§ 26)

dyd^z-^ dz d^y -l{Bz-~Cy-hD), dzd^x — dxd^z = X(Gx — A^ 4- E), dxd^y — dyd^x = X(Aj' — Bx-h F);

et, par suite, en subslituanl dans Téquation précédente, X=o pour les points où le plan osculateur est stationnaire. On aura donc pour ces points

dx dy dz

Ainsi, dans les courbes que nous venons dVtudier, les points où le plan osculateur est stationnaire sont en même temps des points où la tangente a avec la courbe un contact du second ordre.

28. Nous allons considérer, pour terminer, les courbes unicursales les plus générales dont les tangentes appartiennent à un complexe linéaire. On suppose que Taxe des z soit Taxe du complexe; Téquation (a) à laquelle satisfont x^ y^ z se réduit à

X dy — y dx = kdz.

Les axes étant ainsi choisis, soient

les équations de la courbe, P, Q, R, S désignant des polynômes de degré m en a. On a

xdy—ydx^ ^ï — -du.

Si R = (a — a|)(a — a2). . .(a — a;,,), en décomposant la fraction rationnelle en fractions simples, nous avons

PQ — FQ K K, L L,

Les coefficients K|, • . », L| doivent être nuls, pour que z soit fonction rationnelle de a. Or on peut écrire cette identité de la manière suivante