PO'— PO

Va — aj

En différentiant, et faisant ensuite a = ai, il ne restera dans le second membre que K i .

:iT=

.2. • IZlr ^--^ ïviniir I* UfftfTDlC à

3*jiiiûf intiS'zxi^'S 'it là coorbe

::U' 'ir-T^iti i icirr; w poê*

THÉORIE DU CONTACT. — COURBURE. SSq

points d'inflexion ; nous devons retrancher de ce nombre les m poinls d'inflexion à l'infini, et nous avons le théorème suivant (') :

La courbe gauche unicursale d^ ordre m, la plus générale, dont les tangentes appartiennent à un complexe linéaire, possède 2 (m — ^) points où la tangente a avec elle un contact du second ordre.

(') Application de la théorie des complexes linéaires à l* étude des surfaces r£ des courbes gauches {Annales de l'École Normale, 1877).

358 applicàtio?(s géométriques du calcul infinitésimal.

On trouve ainsi, puisque K| doit être nul,

(PQ'p»Q)R'^-(P'Q PQ')R''=:o, pour a = a, .

De même, cette relation doit être vérifiée pour a = a2, . . . , a^. D'autre part, les points d'inflexion de la courbe unicursale représentée parles équations

sont données par Péquation du degré 3 (m — 2)

R(P'Q»«- P''Q')H- R'(P''Q — PQ') -^ R'(PQ'- P'Q) = o.

D'après ce qui précède, cette équation admet pour racines ai, aj, . . ., 7.m* Par conséquent, la projection de la courbe sur le plan des xy a m points d'inflexion à l'infini.

Nous avons dit plus haut qu'une courbe dont les tangentes appartiennent à un complexe linéaire possède un certain nombre de points où le contact de la tangente avec la courbe est du second ordre. Cherchons ces points : des relations

X dy — y dx = k dz, X d*y — y d^x = k d*z, on conclut

dx d^ z — dz d^x dy d^x — dx d^y __ dz d^y — d*zdy 5 ~ —k y '

donc l'équation

dx d^y — dy d^x = o

entraînera

dx d^z — dz d^x = o, dz d^y — d^z dy = o,

le point (ûCj y^ z) étant à distance finie. Les points d'inflexion à distance finie de la courbe plane

seront donc les projections des points cherchés de la courbe gauche. Or une courbe unicursale d'ordre m possède 3 (m — 2)

points d'inflexion ; nous devons retrancher de ce nombre les m points d'inflexion àrinfini^etnousavonsle théorème suivant (*):

La courbe gauche unicursale d'ordre m, la plus générale^ dont les tangentes appartiennent à un complexe linéaire, possède 2 (m — ^) points où la tangente a avec elle un contact du second ordre.

(') Application de la théorie des complexes linéaires à l'étude des surfaces et des courbes gauches {Annales de l'École Normale, 1877).

36o APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL INFINITÉSIMAL.