Nous avons considéré (Chap. XI, § 20) les courbes dont

les tangentes appartiennent à un complexe linéaire. En désignant

par

AL -h BM -H CN H- DX -f- EY + FZ = o

IVquation du complexe, les courbes dont les tangentes appartiennent au complexe doivent vérifier la relation

\ \(y(iz — z dy) -h B{z dx — X dz) ^*^ / -r- C{x dy —y dx) ^D dx -\-E dy -^-F dz =z o.

Leurs plans osculateurs possèdent une propriété remarquable. M. Appell a en cfl'et montré que le plan osculateur en chaque point d'une telle courbe est le plan correspondant au point dans le complexe (*). Ce théorème peut s'établir de la manière suivante.

Le plan correspondant au point (j^, ^', z) dans le complexe est

(X — x){Bz — Cy -4- D) -f- (Y —y){Cx — A;: -4- E)

-H(Z —z){ky—\^x-^ F) = o.

Ce plan coïncidera avec le plan osculateur si Ton a les relations

Wz — Cy -\-l> Gj - — A;;-f-E A^ — Br-hF dy d*z — dz d'y ~" dz d^x ^ dx d^z ~ dx d*y — dy d*x

(') P. Appell, Sur les cubiques gauches et te mouvement hélicoïdal d'un corps solide {Annales de V École JVormale supérieure, 1876).

Or, en dilTéreotianl Téquation (a), on a

Mais ces équations (a) et (P) peuvent s'écrire

( dx (Bz — Cjr-¥-D)-^dr (Cx^\z-hE)'^dz (A^ — Bar -+- F) = o, *^^ ( d^x{Bz — Cy-r-D)-i-diy(Cx~~Az-hE)-^d*z{\y-'Bx-i-F) = Oj

d'où résultent de suite les relations cherchées.

De ce théorème on peut déduire une propriété des plans osculateurs menés par un point aux courbes dont les tangentes appartiennent à un complexe linéaire. Soit C une telle courbe et A un point quelconque de Tespace. Je considère un plan osculateur de la courbe passant en A; M étant le point de contact de ce plan, la droite MA appartiendra au complexe puisque M est le foyer du plan osculateur. Cette droite sera donc dans le plan correspondant au point A dans le complexe. Par suite les points de contact M des plans osculateurs menés par A à la courbe sont dans un même plan passant par A. Réciproquement d'ailleurs, si M désigne un point de rencontre du plan polaire de A avec la courbe C, le plan polaire du point M passe par MA, qui appartient alors au complexe ; il est d'autre part le plan osculateur à C en M : par conséiquent, le plan osculateur en ce point passe par A. Ainsi par le point A on peut mener à la courbe autant de plans osculateurs qu'il y a de points de rencontre, avec la courbe, du plan polaire de A dans le complexe. En particulier, si la courbe gauche est algébrique, son ordre sera égal à sa classe, et tous les points de contact des plans osculateurs passant par A seront dans un plan contenant ce point. Le théorème de Chasles relatif aux cubiques gauches (§ 24) est un cas particulier de cette proposition générale : nous avons vu en effet (Chap. XI, § 20) que les tangentes d'une cubique gauche appartiennent à un complexe linéaire.

27. Cherchons, sur une courbe gauche dont les tangentes appartiennent à un complexe linéaire, les points où le plan osculateur

csl stalionnaire. 11 faut calculer le déterminant

dx dy dz d^x d^y t/*; d^ X d^y d^ .

A cet effet, joignons aux équations (lo) Téquation obtenue en di férentiant la seconde de ces équations^ ce sera