CHAPITRE XIII
Centre de courbure.
1. Considérons une courbe gauche sur laquelle est fixé un sens pour les arcs croissants et menons dans ce sens les tangentes en deux points voisins M et M'. L'angle t de ces deux directions s^ap-
[icHeh cour'bure de l'arc yiM'\\e rapport — représente la courbure moj'cnne de cet arc, et la limite de ce rapport, quand M' tend \ers M, la courbure de la courbe au point M. L'inverse de ce rapporl, qui est une ligne, est dit le rayon de courbure de la courbe au point M.
Nous allons chercher l'expression du rayon de courbure. Au lieu de la limite de ^> nous pouvons considérer évidemment la
limite de ^— - • Les cosinus directeurs des deux tangentes étant respeclivement a, ,3, v et a -^ Aa, ^ -r- A^S, y -^ Ay, nous avons
.<in» £ ^ i ï A? — 3 Aï ^« -r- (, 3 Av Y A?)>-i- ( v Aa — a Ay)«.
Divisons les deux membres par \s^ et faisons tendre le point M' vers le point M; il vient
I ,. sinU (a«/3 — S«/a^«-^-r3^v — Y<f3)«H-(Y//a — GtrfY)* K« '"" A*J ih^
lis^
en désîgnaDl par R le rajon de courbure. Dans toute cette théorie des courbes gauches, la ligne R représentera une ligne essentiellement positive.
Il est utile de donner l'expression de R en fonction de x, y, z. En posant
A = d^ d^z — dz d^y, h = dz d^x — dxd^Zy C = dx (Py — dy d* x, on déduit des équations a= -r-, ^ = -^j y = -y^ les relations
^dT, ad^^^^^y
.d? ?rfa-^^,.
On aura donc
I A«-f-B«-hC«
R« ~ ds6
Remarquons que, si Ton prend l'arc s comme variable indépendante, le rayon de courbure est donné par la formule très simple
qui résulte immédiatement de la première expression trouvée R^
pour-.
2. Nous avons déjà vu (Chap. XII, § 18) que la caractéristique du plan normal était perpendiculaire au plan osculateur. Cette droite a été appelée la droite polaire, qui correspond au point M considéré sur la* courbe. On désigne sous le nom de normale principale la normale à la courbe située dans le plan osculateur. La normale principale et la droite polaire sont perpendiculaires Tune à l'autre; en désignant par O leur point de rencontre, qui est le centre du cercle osculateur à la courbe, cherchons la distance MO. L'équation du plan normal au point M(x^y, z) étant
il faut, pour avoir sa caractéristique, adjoindre à cette équation la suivante,
' Q; ^ X — x)d2 — {\ — ^'} dl — ( Z — z)d'( — ds = o.
Les deux plans (P) et (Q) sont perpendiculaires l'un à raulre,
puisque a rfa -|- ,3 d^i -t- Y ^Y = o. Pour évaluer la distance MO, il
suffira donc de calculer la distance du point M au plan (Q). On a
donc
— î ds^
^^^ = n—^FTi — T-i-
Il en résulte que la distance MO est égale au ravon de courbure K. Nous pouvons donc dire que le rayon de courbure est égal au rayon du cercle oscutateur. Le point O, centre du cercle osculateur, est dit le centre de courbure de la courbe en M.
Désignons par a', ^', •/ les cosinus directeurs de la direction MO, allant du point M au centre de courbure : ce seront les cosinus directeurs d'une direction déterminée sur la normale principale. Le plan Q étant perpendiculaire au plan P est perpendiculaire à la normale principale, et Ton a, par suite,
d% fg __ d-(
D'autre part, les coordonnées du point O étante -f- R a', y -h R^', Ry, et ce point étant dans le plan Q, on a
R(a' doL -+- p'^p -f. y'^/y) = ds.
La valeur commune des rapports précédents est donc tt > puisque
a'- -h j3'2 f- y'^ = I . Nous obtenons ainsi les formules très importantes
^a' fl^ ^ 1^-ï
ds " R' ds ~ W' ds" K
3. Un plan quelconque passant par la tangente en M, sauf le plan osculateur, laisse du même côté la courbe dans le voisinage de ce point. Il est intéressant de remarquer que la direction MO sera, par rapport à ce plan, du môme côté que la courbe. Il suffira de le vérifier dans un cas particulier. Prenons, par exemple, le plan
(X - ar)a'-+- (Y -j.)P'-4- (Z - ^)y'= o
perpendiculaire à la normale principale. En substituant les coordonnées du point O dans le premier membre de l'équation de ce plan, le résultat de la substitution, R, est positif. D'autre part, en prenant l'arc s comme variable indépendante, les coordonnées X, Y, Z d'un point de la courbe voisin de M sont données par les développements
cix I d^x
X = X -\ y- \S -i 7-r- As* -f- . . . ,
as i .'1 ds^
et les formules analogues pour Y et Z. En substituant dans le premier membre de l'équation du plan précédent, on a de suite, en
d^x remplaçant a' par R -j— > et pareillement pour ^' et y,
Le résultat de la substitution est donc aussi positif, ce qui justifie la remarque que nous avons énoncée.
4. Après avoir considéré l'angle des tangentes en deux points voisins, il est naturel d'étudier l'angle de deux plans osculateurs; on arrive ainsi à la notion de seconde courbure ou torsion.
Menons les plans osculateurs en deux points M et M' d'une courbe gauche, et les normales à ces plans. Ces normales font un
angle t; le rapport ^ est la torsion moyenne de l'arc MM'= A^,
et la torsion au point M est la limite de ce rapport quand M' tend vers M.
Pour évaluer cette limite, nous désignerons par a'', P", y les cosinus directeurs de l'une des deux directions sur la normale au plan osculateur. Le calcul à faire est identique à celui qui nous a donné, pour le rayon de courbure, la formule
j^ da'^ -f- d'^^ -h ^Y^
Désignons par = la limite cherchée ; on appellera T le ro/o/î de torsion au point M. Il vient
T* ~ ds^
Si Ton veut avoir ï en fonction des coordonnées du poinl M, il vaut mieux partir des deux normales au pian osculateur
A -h AA
B B-h AB
AG
Soit e Tangle infiniment petit de ces deux droites; on a
5in*£ —
( A AB ^ B AA)«-H ( B AG — G AB )«-h (G AA ~ A AC )« (A«-4-B«-H G*)[(A-4- AA;«-f-(BH- AB)«-+-iG-i- AG)*J
et, par suite,
I ( A ^ — B f/A )« -h ( B dC — G ^B )» -K G t/A — A dC )«
rf5«(Aï-hB«-4-G«)«
Or A, B, G vérifient les deux équations
Xdx -\-Bdy -4- G r/s Arf«-r-7-B6/«>'-+-Gt/«
On peut substituer à la seconde de ces deux équations la suivante
dk dx-^dB dy -¥-dC.dz = o\
on en conclut
dx dr dz
lûfC — Cd\i ~ ^A -1 A dC ~ \dB — Bd\'
Soit ~ la valeur commune de ces rapports; nous aurons
Pour calculer o, prenons, par exemple, Tégalité
odz= A ^B-B^A.
En remplaçant A et B par dy d^z — dz d^y et dz d'^x — dx d^z^
on a de suite
I dx dy dz
\ d^y d^y tfiz
Nous avons donc Texpression de la lorsion = donnée par la formule (i).
Dans une courbe plane, la torsion est nulle en chaque point, et
inversement, si = = o, il faudra que = 0, c'est-à-dire que la
courbe sera plane.
