II. — Formules de Frenet. — Quelques applications

S. Nous avons trouvé précédemment les formules

fl^__a; ^p' ^f

ds " K' e/5 " R' ds ~ h'

A ce système de formules, nous allons en adjoindre deux autres qui sont fondamentaux dans la théorie des courbes g;auches. Des formules précédentes, il résulte que

Or considérons la courbe gauche F à laquelle restent tangentes les droites polaires, c'est-à-dire Tarête de rebroussement de la développable enveloppe des plans normaux. Le plan osculateur à la courbe T est le plan normal de la courbe initiale; on peut donc prendre comme cosinus directeurs de la normale au plan osculateur de r les cosinus a, p, y; d'ailleurs, la droite polaire étant la tangente de F, en appliquant à cette courbe les relations (2), nous

avons

çf a" d^^ __ dY

Or, en se reportant à la formule

i^ dx^ -4- rfy « -h ^y"'

on voit que la valeur commune de ces rapports est ± -^ • Mais T

est une longueur qui n'a été définie jusqu'ici que par son carré ; donnons-lui un signe tel que l'on doive prendre le signe /?/f/5 dans

366 APPLICATIONS GÉOSIÉTRlQCeS DU CALCUL INFINITÉSIMAL.

l'expression précédente. On pourra alors écrire

'II. - t

Quand on aura sur la normale au plan osculateur, souvent appelée la binormale, choisi une direction déterminée, le signe de T s'ensuivra. Ainsi, tandis que le rayon de courbure R dans nos formules est une quantité essentiellement positive, le rayon de torsion T a un signe variable : ce signe varie avec la direction que l'on veut considérer sur la binormale. Pour bien fixer les idées, il est simple de convenir que l'on prend, sur la binormale, la direction MB, telle que le trièdre (MTNB), MT désignant la tangente et MN la normale principale (sur ces deux droites, nous avons des directions parfaitement déterminées), soit de même sens de rotation que le trièdre des coordonnées, ce qui revient à dire que

6. Au second système de formules, que nous venons de trouver, adjoignons-en un troisième. Je partirai, à cet effet, de la relation

a'^/a'-+-p'rf3'-+-Y'^Y=»-

que l'on peut écrire

a a' cIt!

p p" rf?'

ï i' di

on aura donc

X et [JL ont des valeurs très siijnples, qui se calculent de suite différenlions, en effet, l'identité

aa' -h ??'-+- Y7'=o,

on a

ds

OL dcL'-+- p cf?'-+- Y rfY'= — R-'

et, par suite,

. ds

En partant de ridenlité

on trouve de même

ds

«t nous avons, par suite, les formules

di! OL a'

di Y ï'

ds ~~ R T'

ds R T'

ds R t'

auxquelles nous voulions parvenir.

En résumé, nous avons le système des neuf formules, dues à Frenet, et qui sont fort importantes dans la théorie des courbes gauches. Elles permettent d'e:i^primer les différentielles des neuf cosinus en fonction des cosinus eux-mêmes, de la courbure et Av la torsion. J'écris de nouveau la première formule de chaqut^ groupe

doL a!

d7! a ol"

diT a'

ds R'

ds ~ R T'

ds f'

les autres s'en déduisant en remplaçant les a respectivement par les ^ et les y.

7. Faisons de ces formules quelques applications. Cherchons d'abord une expression du rayon de la sphère osculatrice au poinl M. Il faut, pour avoir les coordonnées du centre X, Y, Z du centre de la sphère osculatrice, adjoindre à l'équation

les résultats obtenus en la différentiant deux fois. Une première difierentiation donne, en faisant usage des formules de Frenet,

(X-:r)at'+(Y-^)P'-^(Z-5)Y'=R

et, en diffiérentiant une seconde fois,

Nous aurons de suite le rayon p de la sphère osculatrice, en faisant la somme des carrés de ces trois équations,

= (X - x)«-4- (Y -7)«-f-(Z - 3)» r= Rî^- T« (^)

Arrêtons-nous un moment sur un cas particulier intéressant.

Supposons que la courbe proposée ait son rayon de courbure R

constant. On a, dans ce cas,

Le centre de la sphère osculatrice est alors au centre de courbure O de la courbe. Le lieu de ce point est une courbe F lanji^^ente en chaque point à la droite polaire. Le plan osculateur en O à r sera le plan normal à la courbe proposée en M ; d'autre part, le plan normal en O à F sera le plan osculateur à C en M. 11 en résulte que la droite polaire correspondant au point O de la courbe T sera la tangente en M à C. Il y a donc réciprocité entre les courbes C et F : elles ont même rayon de courbure aux points correspondants, et la tangente de Tune est la droite polaire de Tautre.

8. Comme seconde application, demandons-nous, avec M. Bertrand, si les normales principales dUine courbe C peuvent être les normales principales d^une autre courbe. Soit M un point quelconque de C et MN la normale principale en ce point. Soit M| un point situé sur MN : le lieu des points Mi forme une courbe C|. Peut-on choisir MMi = <7, de telle sorte que MN soit la normale principale de la courbe Ci? Les coordonnées (^i,j'i, z^) de M| sont

a sera nécessairement constant, car on devra avoir

a' dxi H- p' rf^i -h y' dzt — o,

<|ui conduit à

da = o.

Nous aurons

djci = dx -i- a di.' = \ a 1 1 — -^j — -=a'\ds.

En désignant donc par ai, pi, y, les cosinus directeurs de la

langenlc en x\I| à la courbe Ci, on doit avoir

X étant un facteur de proportionnalité.

D'après l'hypothèse faite, rfai, û^,3i, r/y,, qui sont proportionnels aux cosinus directeurs de la normale principale de Ci, doivent être proportionnels à a', ^', y, c'est-à-dire que

d^i = {A»', d'^i = (Jt?', d^(i ^ [xy'.

En remplaçant a,, pi, y, parleurs valeurs, il vient

-^^|[H('~R)~tT]''*-""''(n)-"*'''(T)i-''»-°

et deux autres équations analogues, où les a sont remplacés par les p et les y. JNous avons donc trois équations de la forme

La-^-Ma-f-Na^r-o,

Lp--Mp'~N3":-o,

ce qui entraîne nécessairement L = M = N = o; par suite, en laissant de côté l'équation contenant [jl,

Donc

a dijr) d

dk ^^\^} ^yî

>~ • AFFiJCâno5> <;towtTiiviis Dr CàLcrL i>fi5it£si>al.

4 — I -j I — , ■ 1 - i «i = — \**zC = o.

< . t'Unt une constante. On a on tin

// y fi pitr stiiie un*' rf^i*iti'*n linf^iin* mire ^ el =; • cest-ct-dirc

enin' la '''*urfmre et Ut torsion. Rt*cîpi»quenient, si celle relation e>l xt'rilîêe, en portant sur chaque normale principale une loniTueur a. on aura une courbe avant nièuies nonnales principales ijue la pmposée. On pr ut, en etTel, trouxer alors des valeurs de A et de 'JL satisfaisant aux trois équations

u -- il.

et, par consét]uenl, </!,• </i,. •/••, sont pr»>|H^rtionnels à x', p\ y, ce qui montre que les deu\ courhes ont mêmes normales principales.

La \«ileur de /. est CMmplèlemeiil dr-terminée |>ar la condition

,5 iî ^; ,

Les équations • 3 tlMunt-nl »dor^

R Ts

Cherchons l'anirle \ des deuTL tancenles ;ui\ c*»urlies f' et (I, ; ?*in cosinus sera donné par la formule

L 'jn^le \ est */onc c»*nst<int. On peut encore dire que les plans t'sculaleurs aux deux courbes aux points correspondants

font un an;:1e constant.

Dans le calcul général qui pnVède, on a supposé que Ton n*avait ciinstamment ni #7 ^ R, ni :r, - o. Le second cas donnant une

courbe plane est sans intérêt; il n'en est pas de même du premier. Les courbes, dont le rajon de courbure est constant, satisfont à la question proposée : c'est ce que montre le calcul précédent, puisque les trois équations en X et [x se réduisent à deux. Nous avons considéré ces courbes (§ 7); elles rentrent dans le cas général pour

C = o : l'angle V est alors égal à - •