III. — Développées des courbes gauches. — Hélices

Courbes sphériques.

9. Pour étendre aux courbes gauches la théorie des développées, proposons-nous de chercher si l'on peut grouper les normales d'une courbe gauche de manière qu'elles soient tangentes à une même courbe.

Soit M un point quelconque d'une courbe C; nous désignons par MÎN la normale principale, et par MN' une normale engendrant une surface développable. Soit I le point où cette dernière droite touche son enveloppe. Désignons par a et b les coordonnées du point I dans le plan normal, rapportées à la normale principale et à la binormale. Les coordonnées de M étant ^, y, z et celles de I

-^1, Ji, -ly on aura

Xi = X -^ a ol' -{- b ol" y

Écrivons que rfxi, dyt, dzt sont proportionnels aux différences Xi — .r, yt — >', Zi — z : on exprimera ainsi que la courbe lieu du point I est tangente à ML 11 vient

a ds -h ot.' da -, a' db -i- a ( — r^ — =r j t/* -h 6 a' 7=- — A ( a a' H- 6 a' ) ou, en ordonnant,

0Lds(i—^j -hi'fda-^ "Y" — «^) -^OL^^db— -=r bl) =0

et deux équations analogues en remplaçant les a par les ^ et les y. De ces trois équations on conclut nécessairement que les coeffi-

cienls de a, a', a" sont nuls. On a donc

, h (/s (la -^ -^

a (is dû - ^-

I^ii première oqualion a —^ Il montre que le point l est situé sur la (iroit(* polaire. En éliminante entre les deux dernières équations, nous avons

h da — (i db -■■ ( a* -i- 6*) -= = o,

que l'on peut «'crire

Soit

(t (Ib - - b (la (/s

(li-h lA ds

T étant une fonction du paramétre dont dépend la position du point M sur la courbe; IVquation précédente donne, en intégrant,

b — a tang('c -h G),

C élant une constante arbitraire. En prenant donc

et les deux équations analogues, on obtient une dés'eloppée de la courbe gauche, c'est-à-dire une courbe dont les tangentes sont normales à la courbe gauche. Il y a une infinité de développées, puisquUl figure dans la formule une constante arbitraire C. Toutes ces développées sont situées sur la surface polaire.

Il est aisé de voir qu'un arc de développée s'exprime, comme dans le cas des courbes planes, par la différence de deux lignes droites. On a, en effet,

ds\ = dx\-, dy\-^ dz\=\^[{aa: -^ bd'y-^ . , .] = X«(a«-T- ^»«).

(Is Pour calculer A, éliminons -?« entre les deux équations (5); il

COURBURE ET TORSION DES COIRBES GAUCHES. ZyS

vient

donc

on encore

a da -i- ù dû = 1{ a- — b^ ),

, (ada~hdby

cis * —— — . ■ %

j a da -^ b db ,, ,- ■ , ■ x

Mais Ml ^^ ^77^ -h b-. Donc si MI varie dans le même sens quand on passe de I à l' l'arc IF de la développée sera égale à la différence MT — Ml. C^est le même thvorème que pour les courbes planes,

10. Les normales principales d'une courbe gauche peuvent-elles former une surface développable? Il faudrait pour cela

c'est-<^-dire

et par suite