I . ds

Tj, = o, puisque d-z = Y

La torsion de la courbe étant constamment nulle, la courbe serait plane.

Ce résultat peut d'ailleurs s'établir immédiatement sans calcul. En effet, si MN était génératrice d'une surface développable, le plan langent en M à cette surface serait le plan MNT, MT étant la tangente. Cette dévelop|)able serait donc l'enveloppe du plan osculaleur à la courbe en M ; la caractéristique du plan osculateur serait alors la normale principale : résultat inadmissible, puisque nous avons vu que cette caractéristique est la tangente MT.

Une courbe plane a, comme toute courbe, une infinité de développées. Pour une courbe plane, t se réduisant à une constante, l'angle, formé par la normale principale MN et la normale MN' engendrant une développable, sera constant. Les développées d'un*; courbe plane seront donc des courbes dont les tangentes font un angle constant avec le plan de la courbe, ou encore seront des courbes dont les tangentes font un angle constant avec une direc-

lion fixe. On donne le nom (ïhriices aux courbes jouissant de cette propriété : nous allons les étudier avec quelques détails.

11. Prenons donc une courbe C dont la tangente fasse, avec une direction fixe que nous prendrons comme axe des ^, un angle constant, dont y représentera le cosinus. On a

ds ~ *'»

donc

en supposant, comme il est possible, que z ^^ o pour s = o.

En exprimant les coordonnées a:, y, z en fonction de Tare 5, nous aurons

et puisque

on aura

Considérons le cylindre parallèle à 0>3 et passant par la courbe C. Soit C| sa section droite : Tare 5| de cette section droite sera donné par la formule

ds\ ^ dx^ -f- dy^ = [/'»(«) -t- ?'*(*)] ds^ =- (i — Y*) ^* •

donc, en comptant St à partir du point où Thélice rencontre le plan des xy^

Si — 5/1- "Y*'

Les cosinus directeurs de la normale principale à une courbe sont proportionnels à

Or ici -^ = o : la normale principale sera parallèle au plan

des xy^ et par suite normale au cylindre projetant la courbe sur ce plan.

Soit M un point de C et M| sa projection sur C|. Calculons le

rayon de courbure 11 de C en M, et celui R, de C| en M|,

et

Puisque .Vi -- ^y i — y^, on a

ds\ I — Y* ds^ ds\ I — Y* <^*'

[Ion

donc;

ou

Les deux rayons de courbure sont dans un rapport constant. En particulier, si riiélice est circulaire, c'est-à-dire si la section droite C| est un cercle, son rayon de courbure sera constant.

12. Considérons la binormale en un point quelconque M de l'hélice : elle est située dans le plan tangent au cylindre en M, et, dans ce plan, elle est perpendiculaire à la tangente MT.

Elle fait donc un angle constant avec Taxe des w, et le cosinus

de cet angle est y/i — y-. Or une des formules de Frenet s'écrit

ds R "T '

et, puisque ^1= o, nous avons

- =-^,.= - -1=1=^ - const.