Y VI — T
Le rapport entre le rayon de courbure et le rayon de torsion est constant dans une hélice.
M. Bertrand a montré que, réciproquement, toute courbe, pour R T
laquelle „-, est constant, esl une hélice. Les formules de Frenet vont
ds
OjG APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL INFIMTÉSIIAL.
nous conduire de suite à ce théorème. Des relations
ds ~ t ' on tire
di " d'i " d'i - 1 •
k d<'sif,mant, par hypothèse, une constante.
Donc
C, C et C" étant trois constantes. Celles-ci ne peuvent être nulles à la fois, car, des équations précédentes, on conclut
Multiplions les trois équations par rfa, d'^^ ^v et ajoutons : il
vient
CdoL--a d^- C d^(r-.o^
et enfin
Ca-^ C'p-f-CY ^consl.
Ceci montre que la tangente à la courbe fait un angle constant avec la direction qui a pour cosinus directeurs
/G«^G'î-hG'« v^G»- C'^:-Çf^ v^G» -+- G'« -- G'« La courbe est donc une hélice ( ' ).
13. Nous terminerons ce (Chapitre, en considérant les courbes tracées sur une sphère. On peut introduire dans l'étude de ces courbes une notion importante, susceptible d'ailleurs d'être étendue
( * ) La fin du raisonnement précédent suppose essentiellement que la courbe soit réelle. C'est seulement dans ce cas qu'on peut être assure que la somme
est diiïérente de zéro. Considérons, par exemple, les courbes dont le rayon de rx)urbure et dont le rayon de torsion soient constants. Si C'-- C'»4- C" ^- o, la
à une surface (juelconque. IVonons, sur ia courbe spliérique C, deux points M et M' et menons les arcs de grand cercle tangents à la courbe en ces points. Soit £ l'angle de ces deux arcs de grand cercle, angle voisin de zéro si M' est voisin de M. On donne le nom de courbure grodésûjue à la limite du rapport
( A5 — arc MM),
quand M' tend vers M. Si nous posons
- — lim — .
G sera dit le rayon de courbure grodésique de la courbe au point M.
\ous allons donc calculer lim * ;. et il est clair que £ représente
l'angle des normales au plan des deux grands cercles.
Si donc a,, ji,, v, d/'signent les cosinus directeurs de la normale au plan du gran<l cercle tangent en .M à la courbe C, on
courbe sera une hélice rirruluirc. Mais plarons-n()u< maiiilonant dans Thypothèsc O-i- C ^ C* - o. Legaliti-
donne
On a donc A- = ±:i, (i — ^'— i) ; soit, par exemple, A- -- i. Il faudra que -=, — i.
Dans 1« formule
ds ''^ K T' remplaçons a" par sa valeur i a -• C et a' par H — » il vient
" ds' T '
a sera donc un polynôme du second degré en s, et x sera par conséquent un f>olynôme du troisième degré en *. II en est de même pour r et z, et l'on obtiendrait ainsi une cubique gauche imaginaire, pour la({uelle le rayon de courbure et le rayon de torsion sont constants, leur rapport étant égal à i. L'exis- Icnce de cette cubique gauche imaginaire, ayant courbure et torsion constantes, a été signalée par M. Lyrm dans .«-a thèse Sur tes courbes à torsion constante,
)-'^ wFPUtiJkno^s •^oamuQuis du cjulctl LircnTÊsisAL.
luru. '*ti iTu^oonunt oomme «iaos ie calcul du rayon de courbure,
t >r <ftu vi «'vtdeimutfat
*» — . if — 7i — — *
vil ^* i*u^tp«fi«uti «-jue .r-^ — » • — i* := a-. M Mtiii aU>r^
V «7 ^ j.i5 î-^ :r'/a - x ci^ .* — jt^^^-^^^i^
K V uua A* iit^tMi ît* cMurbur^ de eu M. Ceci pose, considérons ia vii^»vlv fK»4a*tv 'tij* iv^u corre:>pondant au point M : elle
Knt. t."*.
i».uM* ovKlcuuucut par le ot'ttln? de la sphère; soit, d'autre part, \l\ U iKuiUvilo pnuvi^Mlo rx*acv>utrant la droite polaire en I, point \\\\\ \\i W cvuuv do ix^urbure. Appelons enGn V Fangle DOM,
C'est la formule que nous voulions obtenir pour la courbure géodésique. On peut aussi en conclure
G — a tang V = , *
formule simple reliant le rayon de courbure géodésique au rayon de courbure de la courbe.
14. Cherchons, comme application, les courbes de la sphère dont le rayon de courbure géodésique est constant. D'après la formule précédente, ceci revient à chercher les courbes de la sphère ayant une courbure constante. Or nous avons vu que le carré du rayon de la sphère osculatrice était donné en général par l'expression
La sphère osculatrice d'une courbe tracée sur une sphère étant manifestement cette sphère elle-même, on aura, pour toute courbé de notre sphère.
Supposons que la courbe ne soit pas plane, alors T ne sera
</R pas constamment infini et -j^ étant nul, on aura
Or MI = R : il faudra donc que toutes les normales principales de la courbe passent par le centre. Ces normales formant une surface développable, la courbe devra être plane, résultat contradictoire avec l'hypothèse faite. Par suite, les courbes cherchées sont des courbes planes : ce sont nécessairement des cercles de la sphère.
: • '..^r'Mr- a
COURBES TUACÉES SIR UNE SIRFACE. 38 1
d'où, en dinerenlianl, pour un déplacement sur la courbe,
p d% — q cV^ — ih[ -h a r//^ -H 3 dq — o,
relation (|ui, en se servant des premières formules de Frenet el remplaçant r//> el <lq par rdx -\- s rl\ et s dx - - t dy\ devient
Or, si désigne Tan^ie que ("ail la normale principale MM à la courbe avec la direction Mv de la normale à la surface, on aura
cosO = ' ^^ — ^^ , /i p^'- q^-
el nous ai'ons alors la formule fondamentale
"i, La relation précédente donne tout ce qui est relatif à la courbure des lignes tracées sur une surface. iSOus pouvons en déduire immédiatement le théorème de Meusnier qui ramène la recherche delà courbure des courbes quelconcjues passant en un point d'une surface à celle des sections nornjales passant par ce point.
Soient, en effet, deux courbes tracées sur la surface, MCetMC ajantméme tangente en M; nous aurons
cosO cosO'
R' et y ayant les mêmes significations pour la seconde courbe que R et pour la première.
Supposons, de plus, (jue les deux courbes aient même plan osculatcur : leurs nornudes principales coïncideront, et Ton aura
soit = 0', soit. — 0'-}- t:;
mais ce second cas est im[)ossible, car R et R' sont positifs. On a donc 6 = V et, par suite R = IV.
Âinsi^ une courbe quelconque a en M même rayon de courbure que la section plane déterminée dans la surface par son plan osculateur.
Il suffira doQC de coasidérer les sections planes passant par M. (Comparons d'abord les sections planes ayant même tangente Mï. En particulier, soit une section plane passant par MT et par la normale Mv, section que nous appellerons section normale. Pour cette section, on ne peut avoir que
0'=-o ou e'-ir.
On aura &'^^ o si le centre de courbure de la section normale
est sur Mv, et ^' i^tz s'il est sur le prolongement de Mv. Or on
peut toujours supposer qu'on se trouve dans le premier cas en
choisissant convenablement la direction positive de l'axe O z. On
a alors
cosO I
R" ^ ff*
Cette formule exprime le théorème de Meusnier. Elle montre que le centre de courbure O de la section oblique est la projection sur le plan de cette section du centre de courbure O' de la section normale ayant même tangente.
3. Nous sommes donc enfin ramené à l'étude de la variation du ravon de courbure d'une section normale dont le plan tourne autour de Mv : cette étude a été faite par Euler.
Reprenons la formule fondamentale du § 1. Puisqu'il s'agit d'une section normale, il faut v faire 6 = o ou ^^ tc. Pour n'avoir qu'un cas à considérer, nous allons faire une convention relative à R; jusqu'ici R a toujours désigné une quantité essentiellement positive. Dans lasuitc, R va être susceptible d*un signe : pour ime section normale, R sera positif, quand l'angle correspondant à celte section sera nul; il sera négatif quand l'angle 6 sera égal à-. En d'autres termes, R sera positif si la direction allant de M au centre de courbure de la section coïncide avec Mv; il sera négatif si cette direction coïncide avec le prolongement de Mv. Avec cette convention, ou aura la valeur de R en faisant, dans tous les cas, == o dans la forme fondamentale. Celle-ci nous donne donc, pour les sections normales,
1 ra^-^9S0L^-r- t^^
Pour étudier la variation de ^^ > prenons comme origine le
point M, la direction Mv comme axe des z] le plan tangent en M sera alors le plan xy. On a /? =: y = o, et la formule devient
Or soit (0 l'angle de la tangente MT avec Taxe Mx: il vient
— = rcos*w -r- 25C0SW sin w -f- ^ sin^w.
On a donc seulement à discuter une forme quadratique en coso> el sinw.
Les maxima et minima de 5 ont lieu pour les valeurs de w qui
annulent sa dérivée, c'esl-à-dire, comme le donne un calcul facile, pour les racines de Téquation
is tanîTStii =
Cette équation donne pour (o deux directions rectangulaires. Si l'on prend pour axes des x et des j^ ces deux directions, la valeur de s correspondant à ces nouveaux actes devra être nulle, puisque
l'équation admettra les racines w ^= o, ;^> et l'on aura
— = Ti cos'to -f- ti sin*a)^
En désignant par R, le rajon de courbure correspondant à la section to = o et par R2 le rayon de courbure de la section w = ~,
on a 5- = /*! et de même ^5- = /•,. Nous avons donc la relation due
Kl Kj
à Eu 1er
I ros^w sin*(o
H Hj Rj
Les deux sections normales, que nous venons de signaler, sont dites les sections normales principales. Ce sont les sections correspondant aux maximum et minimum des rayons de courbure. Ri et R2 sont les rayons de courbure principaux de la surface en M.
.-Xrrni-
-? r-i ■ iC'.'a-î
pondante a une inflexion, sont données par Téqualion
rx'-h i$ry -f- ty^ = o.
Les tangentes des sections normales pour lesquelles 77 = o sont
appelées les tangentes principales de la surface en M. Il ne faut pas confondre, comme on voit, les tangentes principales avec les tangentes des sections normales principales.
Les tangentes principales peuvent être définies d'une autre manière. Considérons, en efiet, le développement de z suivant les puissances de x e\ y^ d'après la formule de Taylor^ on aura
z=' -(rx^-k-isxy -\- ty^)-\-. . .^
les termes non écrits étant de degrés supérieurs à deux. Coupons la surface par le plan 3 = 0, l'équation de la section sera
o = rx^-h isxy -\- ty^-^, . . ,
ce qui montre qu'elle a en M un point double, et les tangentes en ce point double sont les tangentes principales. Ainsi les tangentes principales à une surface en un point M sont les tangentes, en ce point, de la section plane déterminée dans la surface par le plan tangent en M.
Prenons, par exemple, un point d'un hyperboloïde à une nappe; les deux tangentes principales en ce point sont les deux génératrices rectilignes qui y passent.
o. Revenons à la formule générale
/l -4- /?2-4- ni «or..
I (^ i- = /as-h 25a3 -^ <fl*,
les axes de coordonnées étant quelconques, mais, bien entendu, rectangulaires. Cherchons l'équation du second degré en ^ déterminant les traces des sections principales sur le plan tangent. Nous savons qu'elles correspondent au maximum et au minimum de -^
ou bien de ^ ^•
.^ ^'»^'.*' i -^*»'^^ l*» (Jiffércniielle de celle expression.
^ .,* t V > '.Hir îa rt»lulion
■ A / .^ ^* ■ » (puisque Y = />at-t- ^?); ..... ,,.,..** .^ar Jrrniorc relation, il vient
^»»u . v«» v'Iiinliiaiit dx et </^3 entre (i) et (2),
oaa;iv»ii ia»>aui comidîire les deux tangentes aux sec-
, ...i.i.v-. !»i«uon»alo'i on un point {JCfVs r) de la surface.
., v.u'ii». .» luuov'uîur. los équations qui caractériseront un
