I...1 ,.i , * ;»xMiî, îc> sections normales principales sont

.,^,. v{M.i*'v*i» piwvdcnte doit être identiquement

^«:u lUuv Nv^itvtîiuMï^ pour exprimer cpfun point est un

'I ,v'*^'«»» m unlonanl Téqualion du second deiré donnant V .,ivx»i^ vU' vvMirluire j)rin(;ipaux. I /élimination 6^z et e/|ii

u liai KM»'» yO el \'.>-) nous a rondiiit à Téquation

^ ,U*»i»iv'i' plus haut sous foruu» enlicre ; on ptat encore

.•uuu' valeur commune de ces rapports, en multipliant

ytviuu'-» du premier rapport par a et les deux termes du

H ou -, - ^^

Posant donc

nous aurons

L'élimination de ^ entre ces deux équations conduit à l'équalion cherchée

p'(i-+-/>5-h^*) — p [/-(i-h ^') -+- /(i -+-/?') — -i^pqs] H- rt — s^ = o,

qui donne, en remplaçant p par ^ —y Jes deux rajons

de courbure principaux au point considéré.

Cette équation en p aura toujours ses racines réelles; si elles îiont de même signe, la surface est convexe dans le voisinage du point (jr, y, z); elle est à courbures opposées, dans le cas contraire. Le signe de rt — s^ permet donc de décider de la nature de la surface dans le voisinage d'un point.

On peut, avec l'équation précédente, exprimer qu'un point est un ombilic : il suffira d'écrire qu'elle a une racine double. Il semble donc, au premier abord, qu'il y ait contradiction avec le résultat trouvé plus haut, où nous avons trouvé deux équations, tandis qu'ici une seule équation exprimera que les deujt valeurs de p sont égales. L'explication est facile : le discriminant de l'équation en p, on le vérifiera aisément, est une somme de deux carrés, et, comme la surface est supposée réelle, il faut annuler chacun des carrés, ce qui donne les équations précédemment trouvées.

H. — Lignes de courbure. — Propriétés et équations générales.

7. En étudiant les congruences de droites (Chap. XI, § 15), nous avons déjà défini incidemment les lignes de courbure d'une surface. Les normales à une surface forment une congruence. Soient M un point quelconque de la surface et MN la normale en ce point; par MN passent deux surfaces développables ayant pour génératrices des normales à la surface. Ces deux surfaces se coupent à angles droits. Nous en avons conclu que par chaque point

M d'une surface passent deux courbes sur la surface, telles que les normales aux divers points de ces courbes forment deux surfaces développables : ces deux courbes, qu'on appelle lignes de courbure de la surface, sont à angle droit. Pour les Irouv-er, il faut intégrer une équation différentielle du premier ordre et du second degré.

Traitons la question directement. Les équations de la normale à la surface au point {jo^ y, z) sont

X = — />Z-T-:zr-+-/>3, Y = —q'L-\-Y-\- qz.

Cette droite engendrera une surface développable si

ff(.r-hpz) __ fl(y -h q z ) dp ~~ dq

OU bien

dx -J(- p dz dy -h q dz dp dq

et, en remplaçant dz par p dx -\- q dy^

( I -h /?^ ) dx H- pq d y pq dx -^- (i -h q^) dy r dx -t- s dy s dx -h t dy

Cette équation du second degré en -^ est l'équation différentielle des projections des lignes de courbure sur le plan des.xy. Nous en déduisons un théorème très important : la relation précédente coïncide en effet avec l'équation en a et jî trouvée plus hauty relative aux tangentes des sections normales f)rincipales. On en conclut que les lignes de courbure en [chaque point soni tangentes aux sections normales principales.

Voici une seconde propriété fondamentale des lignes. de courbure. Soit C une ligne de courbure de la surface : les normales menées à la surface par tous les points de cette ligne, fornnantune surface développable, sont tangentes à une courbe gauche. Qierchons le point de contact de Tune d'elles avec son enveloppe; les coordonnées de ce point vérifient les équations de la normale en

M, {x,yy z), ^

X = —p7»-\- X ~hpz,

\ — -^qZ-hy-^-qz

et les deux équations obtenues par diflTérentiation

— dpT, ->r dx -^ p dz -^ z dp ^ o ,

— dqZ-\- dy -^ q dz -h z dq = o.

Ces quatre équations sont compatibles, d'après la définilion même

de C, et Ton a

dx -\- p dz dy -^ q dz

" ^ dp dq

Or dx et dy sont proportionnels aux cosinus a et ^ relatifs à la tangente d'une des sections principales en M. On a donc

^~ rot -t- 5 3 ~ 5a -T- /S

et, j)ar conséquent, d'après une combinaison faite plus haut.

ra2 -4-2sa3-+-/^«

Mais K désignant le rayon de courbure principal, correspondant à (a, ^), le second membre est égal à — ; on a, par suite,

ce qui montre que le point de contact considéré est au centre de courbure principal ou, sous une autre forme, la normale en tout point d^une surface touche les deux nappes de la surface focale de la congruence des normales aux deux centres de courbure principaux relatifs à ce point.

8. L'équation différentielle des lignes de courbure est susceptible de formes diverses. Des formules intéressantes, équivalentes à cette équation différentielle, ont été données par Olinde Rodrigue. Désignons par a, 6, c les cosinus directeurs de la normale en un point arbitraire d'une surface, et soit R le rajon de courbure principal correspondant à une des sections principales, les coordonnées du centre de courbure seront

x-\-Ka^ y-\-Kb, z-\-Kc.

On peut donc toujours trouver sur une surface une ligne de courbure, sans aucune intégration : cette ligne de courbure est d'ailleurs imaginaire. Ce résultat est dû à M. Darboux (*), qui y est arrivé de la manière la plus simple en considérant sur la surface [es points où le plan tangent est parallèle à un plan tangent au cône asymptote de la sphère. Le lieu de ces points forme bien la courbe obtenue plus haut.

9. L'équation des lignes de courbure peut encore se mettre sous la forme suivante, très utile dans les applications. Désignons par u^ r, tr, non plus les cosinus directeurs de la normale, mais seulement des quantités proportionnelles à ces cosinus, et considérons une ligne de courbure.

Soient

X = ar -h m/,

Y ^y -+-i^/, Z ^ z -^ wl

les coordonnées du point où la normale touche son enveloppe.

On aura

d(x -¥- ul) d{y -h vl) d{z -f- wl) u V w

équations qui reviennent à

dx -^ l du dy -^ l dv __ dz -h l dw

d'où, en désignant par — /' la valeur de ces rapports,

dx -\- l du -i- uV = o, dy-\-ldv -^ vV =0, dz -\' l dw H- wV = o,

et, en éliminant / et /',

dx u du

dy ç dv dz w dw

( ' ) G. Darboux, Recherches sur les sur/aces orthogonales {Annales de V École Normale, i865).

3q2 applications géométriques du calcul infinitésimal.

C'est, dans toute sa généralité, Véqiiation différentielle des lignes de courbure. Si, par exemple, les coordonnées x^ y^ z d'un point quelconque de la surface sont données en fonction de deux paramètres a et p, on pourra prendre pour w, r, w les trois déterminants fonctionnels

et, en substituant, on aura Téquation différentielle en -^ des lignes de courbure de cette surface.

10. La recherche des lignes de courbure d'une surface revient, d'après ce qui précède, à la détermination de l'intégrale générale d'une équation différenlielle du premier ordre; nous indiquerons seulement, pour le moment, deux classes de surfaces dont on obtient immédiatement les lignes de courbure.

Sur une surface de révolution, les lignes de courbure sont les parallèles et les méridiens. En effet, les normales à la surface menées aux différents points d'un méridien sont situées dans un même plan et forment, par suite, une développable; d'autre part, les normales en tous les points d'un parallèle forment un cône de révolution qui est aussi une surface développable. On trouverait facilement le même résultat par le calcul, en prenant l'équation de la surface sous la forme

l'axe des z étant l'axe de la surface. On n'a qu'à substituer, dans l'équation du paragraphe précédent,

le déterminant se réduit à l'équation

(xdx-hy dy)(^xdy —ydx)=.o,

qui donne les parallèles et les méridiens.

Considérons, en second lieu, une surface développable. Les génératrices rectilignes de cette surface constituent un premier système de lignes de courbure, car, le plan tangent étant le même

en tous les points d'un« génératrice, les normales à la surface en tous les points de celle-ci sont toutes dans un même plan. Le second système est formé par les trajectoires orthogonales des génératrices, c'est-à-dire par les développantes de Tarête de rebroussement.

Cherchons les rayons de courbure principaux en un point P d'une surface développable. L'un de ces rayons est manifestement infini, puisqu'une des sections normales principales est une ligne droite. Menons la génératrice passant par le point P cl soit M le point où elle touche Tarête de rebroussement. Désignons par (^n^n ^i) 'es coordonnées de P et par ai, 6», C| les cosinus directeurs de la normale en P à la surface; soit enfin R, le second rayon de courbure principal cherché. On a, d'après les formules de Rodrigue,

da^

les différentielles étant relatives à un déplacement sur la seconde ligne de courbure. En appelant (^,y, z) les coordonnées de M et adoptant pour l'arête de rebroussement nos notations habituelles, on a

xx = x^l% (/=:ivïp),

Or, quand on se déplace sur une trajectoire orthogonale des génératrices, dx\ z=z IdoL puisque ds -h dl -= o. Par conséquent

fdoL

Ri = -

Les formules de Frenet donnant -r-^ =: n» nous avons finale-

da' K

ment

T et R désignant les rayons de torsion et de courbure en M de l'arête de rebroussement.