III. — Théorème de Joachimstal. — Théorème de Dupin

11. On doit à Joachimstal une proposition élégante relative à deux, surfaces ayant une ligne de courbure commune. Nous allons montrer que, si deux surfaces ont une ligne de courbure commune , elles se coupent sous le même angle en tous les points de cette courbe.

En un point quelconque M de cette courbe commune L, menons les normales MN et MN' aux deux surfaces S et S', et soit Mv la normale principale à la courbe L. Si © et o' désignent les angles de M V avec MN et MN', on aura (Chap*. XIll, § 9)

(C et QJ étant des constantes), puisque les normales MN et les normales MN' restent tangentes à deux développées de la courbe, conséquence immédiate de ce que L est une ligne de courbure de S et de S'.

On a donc

q'cp = C'-C:

l'angle cp' — (p de MN et de MN' est constant.

A ce théorème on peut joindre une réciproque : Si deux surfaces se coupent sous un angle constant en tous les points d'une courbe L et que celle-ci soit une ligne de courbure pour la première surface, elle sera aussi ligne de courbure pour la seconde. En effet, l'angle NMN' étant constant, on aura

(G" étant une constante); or, puisque, pour la surface S, la ligne L est une ligne de courbure, la normale MN restera tangente à une développée de cette courbe. Donc

<p = x-i-C, et par suite

<p' = X-i-CH-G''=T-4-C',

c étant une constante, c'est-à-dire que MN' reste tangente à une

courbe gauche. La ligne L est alors une ligne de courbure pour la surface S'.

L'application de ces théorèmes est particulièrement intéressante pour les lignes planes et sphériques.

Toute ligne plane est une ligne de courbure de son plan et toute ligne tracée sur une sphère est une ligne de courbure de celte sphère. Donc, si un plan ou une sphère coupe une surface suivant une de ses lignes de courbure, l'interseclion a lieu sous un angle constant tout le long de cette ligne.

Réciproquement, si un plan ou une sphère coupe une surface sous un angle constant tout le long d'une ligne, celle-ci sera une ligne de courbure pour la surface.

12. Passons maintenante un théorème célèbre dû à Dupin et qui a été l'origine d'une théorie considérable, celle des surfaces orthogonales. Nous considérons trois familles de surfaces dont les équations renferment cliacune un paramètre arbitraire

A^.y, -)- À, ?^-^, Xi -) - ;-i»

X, [JL, V étant les trois constantes arbitraires. Par un point quelconque de l'espace passe une surface de chacune de ces familles.

Supposons que deux surfaces quelconques prises dans ces trois familles se coupent à angle droit: on dit que ces surfaces forment un système triple orthogonaL

Le théorème de Dupin s'énonce ainsi :

Les surfaces d*un système triple orthogonal se coupent suivant leurs lignes de courbure,

13. La démonstration de ce théorème va résulter de quelques identités que je commence par établir.

Soient P un point quelconque de l'espace, et PL, PM, PN les trois normales aux surfaces précédentes passant en P : PL est normal à la surfacey= \ et ainsi des autres {Jig' 19). Ces trois droites forment, par hypothèse, un trièdre trirectangle ; de plus chacune d'elles sera évidemment tangente à l'intersection des deux surfaces auxquelles elle ne correspond pas. Nous désignerons par

(a) l'intersection des surfaces cp == |jl, 6=7 : la courbe (a) sera tangente à PL; et pareillement pour les autres.

Ceci posé, les équations du svstùme triple orthogonal permet-

tent d'exprimer x^ y^ z en fonction de A, [x, v. Si, dans ces expressions, on donne à [x et v les valeurs correspondant au point P, et qu'on fasse varier À, le point (^, J^, z) décrira la courbe (a). L'ortliogonalité du système sera alors exprimée par les identités

dx dx

^ ox ox

âl àii

dx dx dii (hf

dx dx __

dx dx

OÙ il faut entendre par ^ -r t" 'si somme

()x dx 5X d^

Oy dy d\ d]x

dz dz d\ d^

Ces trois identités expriment que les tangentes aux courbes (X), (jx), (v) sont deux à deux rectangulaires.

En difTérentiant respectivement par rapport à v, X et [x les identités (3), nous avons

dx d^x

d\ à]xdv

2dx d^x d^ d^

dx d^x dldyi

20X dH

dx d^x

^ ox 2à'di

d^JL dld^ dx d^x

dyidl

dx d^x dX 5vd[x

On en conclul de suite

ÔT d^x

dx ù^-j

:^ ôx d^x

20X O^X __\^ OX 0-X __ \* Ox o^x

Remarquons encore, pour avoir sous les \cux tous les résultais nécessaires à la démonstration, que, d'après les identités (3), les expressions

sont proportionnelles à

dx ôy

OlL

11. Ces remarques faites, la démonstration est immédiate. Montrons, par exemple, que la courbe (a) est une ligne de courbure pour la surface •i(-r, j', z) = v. En appelant ^/, \\ iv des quantités proportionnelles aux cosinus directeurs de la normale à cette surface, nous pouvons prendre

ôy Oz

or, d'après le § 9, il nous faut vérifier (|iii

div

le é/ étant relatif à la variation deX puisqu'il s'agit de la courbe (a;. Nous devons donc avoir

ôx

ôï

ôz

ôl

ôx ô^x !

&t ôz

<>v ô^, ôl

Mais ceUe égalité se réduit à

ô^ X ôx

ô^â\ àa

398 APPLICATIONS GÉOSÉTRIQUES DU CALCUL I5FLXITÉSIHAL.

C'est une des identités établies plus haut. La* théorème de Dupin est démontré.

15. Les surfaces homofocales du second degré offrent Tapplication la plus simple du théorème précédent.

Considérons les surfaces homofocales du second degré représentées par Féquation

Par un point quelconque de Pespace passent trois de ces surfaces ; on vérifie facilement, en effet, que cette équation du troisième degré en X admet trois racines réelles séparées par — a*, — 6^, — c^ et 4- 00, et auxquelles correspondent respectivement un hyperboloïde à deux nappes, un hyperboloïde à une nappe et un ellipsoïde. Nous formons donc ainsi trois familles de surfaces; elles rentrent dans le même type analytique, mais elles sont géométriquement distinctes et par chaque point de l'espace passe une surface de chacune des familles. Ce système triple est orthogonal, car deux surfaces homofocales quelconques, les surfaces (4) et (5) par exemple

se coupent à angle droit. En retranchant en effet membre à membre les équations (4) et (5), on obtient la relation

(rt«-H X)(cr*-h jjL) (6*-+- X ){b^-^ IX) (c*-T- X)(c«-+- |i)

qui exprime précisément l'orthogonal! té des surfaces en un point commun {oc^y, z).

Il est facile maintenant de trouver les lignes de courbure de l'ellipsoïde

Ce seront les intersections de cette surface avec Thyperboloïde

à deux nappes

JT^ V^ s'

ûfî-f-X b^-hl o»-+-X et avec l'hjperboloïde à une nappe

Ht/ h - -— =1 (-bi<ll<-C^).

a» -H 11 6' -h |x c* -T- |Ji *^ ^

Je n^ndiquerai pas d'autres systèmes triplement orthogonaux. Cette théorie a fait Tobjet de travaux considérables. Après les quadriques, le système orthogonal le plus simple est formé de surfaces du quatrième degré ajant pour ligne double le cercle imaginaire de l'infini : il a été découvert par M. Moutard et par M. Darboux. On consultera avec grand intérêt, sur cette question, rOuvrage de M. Darboux : Sur une classe de sur/aces algébriques (Paris, Gauthier-Villars, iS^S).

rv. — Surface enveloppe de sphères. — Cyclide de Dupin.

16. Considérons une surface enveloppe d'une sphère dépendant d'un paramètre arbitraire, soit

{x - «)»-+- (^ — bf-^(z - c)» = R«,

a, 6, c et R étant fonctions d'un paramètre a. La caractéristique de cette sphère est évidemment un cercle. La surface peut donc être considérée comme engendrée par une circonférence mobile. Ces circonférences forment un système de ligues de courbure de la surface, car les normales à la sphère en tous les points de sa caractéristique sont aussi des normales à la surface ; celles-ci forment, par suite, une surface développable. Nous obtenons donc ainsi une surface dont un des systèmes de lignes de courbure est circulaire.

Réciproquement, toute surface ayant un système de lignes de courbures circulaires est l'enveloppe d'une sphère dépendant d'un paramètre arbitraire. En effet, si C représente un de ces cercles, son plan fera, avec la surface, un angle constant, d'après le théorème de Joachimstal ; les normales à la surface en tous les points de C iront donc toutes passer par un même point O.

4oO APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL INFINITÉSIMAL.

La surface sera l'enveloppe de la sphère ayant O pour centre et passant parC : cette sphère dépend, comme le cercle C lui-même, d'un paramètre arbitraire.

En général, dans la congruence des normales à une surface, comme dans toute congruence de droites, il existe une surface focale formée de deux nappes. Pour la surface que nous venons d'étudier, Tune de ces nappes se réduit à une courbe. Toutes les normales à la surface rencontrent, en effet, la courbe lieu du centre O de la sphère : celte courbe est donc une des nappes de la surface focale de la congruence des normales.

Un cas particulier intéressant est celui où le rayon R de la sphère est constant ; la surface est dite une surface canal. Le plan de la caractéristique passera alors constamment par le centre de la sphère correspondante et sera normal à la trajectoire de ce centre. La surface possédera la propriété remarquable d'avoir, en chaque point un de ses rayons de courbure principaux constant ; cette valeur constante sera évidemment égale à R.

•Montrons que, réciproquement, toute surface ayant un de ses rayons de courbure principaux constant est une surface canal. En effet, considérons une ligne de courbure C correspondant au rayon de courbure principal constant ; la développée de cette courbe, enveloppe des normales à la surface en tous ses points, devra se réduire à un point puisque son arc aura une longueur nulle. Soit O ce point, la sphère ayant O pour centre et passant par C sera tangente à la surface en tous les points de C : la surface est donc l'enveloppe d'une sphère de rayon constant dépendant d'un paramètre arbitraire.

17. Cherchons si une surface peut avoir, en chaque point, ses deux rayons de courbure principaux constants. Nous supposerons d'abord ces deux rayons différents. D'après le raisonnement fait plus haut, la surface pourra être considérée de deux manières différentes comme une surface canal. La surface focale de la congruence des normales se composera de deux courbes F et F'. Soient O et O' les centres de courbure correspondant à un point M de la surface ; les courbes F et V seront normales à 00' et, de plus, leurs tangentes en O et O' doivent être à angle droit, puisque cos tangentes sont perpendiculaires aux plans des deux lignes de

COURBES TRACÉES SUR U.\E SURFACE. 4oi

courbure circulaires de la surface passant en M. Or cela est impossible, car, 00' étant constant, les deux lignes F et T' sont parallèles. Il ne peut donc y avoir de surface ayant ses deux rayons de courbure principaux constants et différents (*).

Nous avons maintenant à supposer que les deux rayons de courbure principaux sont égaux.

Montrons, d'une manière plus générale, qu'une surface dont tous les points sont des ombilics est nécessairement une sphère. J'emprunte la démonstration de ce théorème au Cours de Calcul différentiel de M. Serret. Nous devrons avoir, pour tous les points de la surface cherchée,

Or désignons par X, Y, Z les cosinus directeurs de la normale

On a, comme conséquence immédiate des équations (6),

()/""' âx ~~ ^ dx ~ ôy

Il en résulte que X ne dépend que de or, et Y de^ ; donc -y-

et -T-'* qui sont fonctions, l'une de x^ l'autre de^, ne peuvent être identiques que si leur valeur commune est une constante ; désignons-la par -• On aura donc

•3^0 ct^o étant des constantes. Le cosinus Z sera, dès lors,

(') Voir, pour le même théorème, Bertrand, Traité de Calcul différentiel,

4o2 APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL LNFINITÉSIMAL.

iMaintenant les valeurs de p et q étant — y, - y» la formule

:levient

dz ■= p dx -♦- q dy

{x — x^^dx -^{y ^ y^^dy

dz^--^

y/a^- (x — XQ)^—{y—yit)

et enfin

z — Z(i = yfJ^ïZTÏ^x J-o )* — ( y— y a Y ^^^ étant une constante)

ce qui est bien l'équation d'une sphère.

18. Nous avons étudié les surfaces dont un des systèmes de lignes de courbure est circulaire. Cherchons maintenant les surfaces dont les deux systèmes de lignes de courbure sont circu- /(lires. Ces surfaces remarquables ont été étudiées par Dupin.

Considérons donc une surface ayant toutes ses lignes de courbure circulaires. Elle sera d'abord (§ 16) l'enveloppe d'une première famille de sphères correspondant au premier système de lignes de courbure circulaires; mais elle pourra aussi, d'une autre manière, être regardée comme l'enveloppe d'une seconde famille de sphères correspondant au second système de lignes de courbure. Or une sphère quelcon(|ue de la première famille est tangente à une sphère quelconque de la seconde, car, si l'on considère deux lignes de courbure de systèmes différents se coupant en un point M, les <leux sphères correspondantes seront évidemment tangentes en M. Si donc on prend trois sphères quelconques de la première famille, les sphères de la seconde lui étant tangentes, nous pouvons dire que la surface, si elle existe, est l'enveloppe d'une sphère restant tangente à trois sphères données.

Nous sommes ainsi conduits à étudier la surface enveloppe d'une sphère tangente à trois sphères données. La position de cette sphère ne dépend que d'un seul paramètre arbitraire : c'est ce <|u'on voit de suite en cherchant le lieu de son centre. Soient C, (7, C les centres de trois sphères données S, S', S*', et O le centre d'une sphère S tangente à ces trois sphères. Le point O sera sur un hyperboloïde de révolution obtenu en faisant tourner autour de

COURBES TRACÉES SUR UNE SURFACE. 4o3

ce une hyperbole convenable ayant C et G pour foyers ; de même le point O sera un hyperboloïde de révolution obtenu en faisant tourner, autour de CC, une hyperbole ayant C et C pour foyers. Ces deux hyperboloïdes se coupent suivant deux courbes planes, conséquence immédiate de ce que, F étant un foyer commun des hyperboles méridiennes, les deux surfaces sont tangentes le long d'une ligne à la sphère de rayon nul ayant pour centre F. Le lieu du centre O, pour une surface irréductible enveloppe d'une sphère restant tangenle à trois sphères données, sera donc une conique F. Remarquons, de plus, que les cônes ayant pour sommets respectifs C, C, C" et passant par F sont de révolution. On sait, en effet, que, quand on fait tourner une conique autour de son axe, le cône ayant pour sommet un foyer situé sur cet axe et pour directrice une section plane quelconque de la surface de révolution ainsi engendrée est de révolution.

Ces remarques faites, il est nécessaire de rappeler les propriétés de la conique focale d'une autre conique. Etant donnée une conique F, le lieu des sommets des cônes de révolution passant par celte conique est une seconde conique F' dite focale de la première, et il y a réciprocité entre ces deux coniques. Le cône ayant pour sommet un point O de F et passant par F' a, pour axe de révolution, la tangente en O à la conique F. Je ne crois pas utile d'insister sur ces théorèmes classiques, dont la démonstration n'offre d'ailleurs aucune difficulté.

19. Revenons maintenant à la cyclide de Dupin. La caractéristique de 2 est une circonférence passant par les points de contact de S avec les sphères S, S', S'', car la caractéristique d'une surface mobile restant constamment tangente à une surface fixe passe évidemment par le point de contact. Le cône ayant O pour sommet et passant parla caractéristique de S sera de révolution ; son axe sera la tangente en O à la conique F et, de plus, il contiendra les droites OC, OC et OC^'. Or le cône ayant O pour sommet et passant par la focale F' de la conique F est aussi de révolution; il a le même axe que le précédent et passe aussi par OC, OC et OC", puisque, d'après ce que nous avons fait remarquer à la fin du § 18, les trois points C, C, C" appartiennent à la conique F'. Ces deux cônes coïncident donc nécessairement. Une conséquence impor-

[\0l\ APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL INFINITÉSIMAL.

tante en résulte : toutes les normales de la cyclide rencontrent la conique V focale de Y, La seconde nappe de la surface focale de la congruence des normales se réduit donc aussi à une courbe, la courbe F'. A cette seconde courbe Y' rencontrée par toutes les normales correspond le second sjslème de lignes de courbures, et, d'après le raisonnement fait plus haut, ce second système sera nécessairement formé de cercles. Nous avons donc démontré que la cyclide de Dupin a ses deux systèmes de lignes de courbure circulaires (*).

20. On peut, a priori, considérer une congruence formée de droites rencontrant deux coniques Y et Y' focales Tune de l'autre. Soient O un point quelconque de F, et O' un point quelconque de F' ; nous allons voir sans peine que les droites 00' restent normales à une même surface. Cherchons en effet les ^Xd^ns focaux correspondant à la droite 00' de la congruence. Les deux développables appartenant à la congruence et passant par 00' sont évidemment le cône de sommet O et de directrice F', puis le cône de sommet O' et de directrice F. Les droites considérées appartiendront à la congruence si ces deux cônes se coupent orlhogonalement (Chap. XI, § 14). Or on voit de suite qu'il en est ainsi : si, en effet, Oï désigne la tangente en O à la conique F, le second cône aura, pour plan tangent, le plan O'Oï, et ce plan est évidemment normal au premier cône puisqu'il passe par son axe OT. Ainsi, les droites 00' resteront tangentes à une série de surfaces parallèles. Ces surfaces ont manifestement leurs deux systèmes de lignes de courbure circulaires.