V. — Généralités sur les lignes asymptotiques
Quelques exemples.
21. On appelle ligne asymptotique d'une surface une courbe de cette surface, dont le plan osculateur est en chaque point tangent à la surface. Ecrivons la relation différentielle qui exprimera
(*) M. Mannheim a démontré élégamment que la cyclide de Dupin a ses deux systèmes de lignes de courbure circulaires, en montrant que cette surface est la transformée d'un tore par rayons vecteurs réciproques {Nouvelles Annales de Mathématiques f 1 86o ).
COURBES TRACÉES SUR UNE SURFACE. 4o5
celte propriété. Soit
Téquation du plan tangent à la surface au point (x,j'^z). Les conditions exprimant que ce plan est osculateur à une certaine courbe de la surface, lieu du point (^, y, ^), sont
pdx -^ q dy — dz = o, p d^x -\- g d^y — d^z = o,
La première équation est toujours vérifiée. La seconde est la condition cherchée, mais elle se transforme de suite, car, en diflerentiant la première et retranchant, il reste
dp dx -f- dq dy = o.
On peut encore écrire, en remplaçant dp et dq par r dx -\- s dy
et 5 dx -j- t dy^
r dx^ ->ris dx dy -^ t dy^ = o.
Cette équation homogène et du second degré en dx et dy donne,
dy pour -—-y deux valeurs /i {x, y) ei/2{x,y). On a donc deux équations du premier ordre
Elles montrent qu'en général par chaque point M d'une surface passent deux lignes asjmptotiques. Nous avons déjà appelé l'attention sur les deux directions qui sont les tangentes des lignes asjTnptotiques passant par M : ce sont les tangentes principales. Pour s'en assurer, il suffit de se reporter à la formule (§3)
Pour les tangentes des lignes asymptotiques, le second membre
sera nul et, par suite, on aura ^^ = o, c'est-à-dire que les sections
normales correspondant à ces tangentes ont un rayon de courbure infini. On peut encore dire que les tangentes aux lignes asympto-
4oG APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL INFINITÉSIMAL.
tiques sont les tangentes, au point de contact, de la section plane déterminée dans la surface par le plan tangent.
Jl n'en est pas des lignes asymptotiques comme des lignes de courbure. Par un point réel arbitraire de la surface passent deux lignes de courbure réelles; les lignes asymptotiques en un point sont seulement réelles quand la surface est en ce point à courbures opposées. Ainsi, sur une ellipsoïde, les lignes asymptotiques sont imaginaires*, sur un hyperboloïde à une nappe, les lignes asjTnptotiques sont réelles, et ce sont évidemment les deux systèmes de génératrices rectilignes.
î22. La propriété des lignes asymptotiques est essentiellemenl projectîve, c'est-à-dire que, si l'on effectue sur une surface une transformation homographique quelconque, les transformées des lignes asymptotiques de la surface seront les lignes asymptotiques de la transformée de la surface. C'est là une remarque évidente, car, par une transformation homographique, un plan tangent se transforme en un plan tangent, et le plan osculateur d'une courbe qui est la limite d'un plan passant par trois points infiniment voisins devient le plan osculateur de la courbe transformée.
En particulier, étant donnée l'équation d'une surface en coordonnées rectilignes
l'équation
dp dx H- dq dy — o
sera l'équation différentielle des lignes asymptotiques de la surface, quels que soient les axes Ox, O^, O^, rectangulaires ou obliques, auxquels on rapporte la surface. Deux surfaces aj'ant la môme équation et rapportées à des axes différents sont, en effet, la transformée l'une de l'autre par une transformation homographique.
23. Cherchons, sous sa forme la plus générale, l'équation différentielle des lignes asymptotiques. Nous supposerons la surface définie par les trois équations
Soit
COURBES TRAGÉBS SUR U.NK SURFACE.
réquation du plan tangent au point (x,y^z). On a
du
ou ou
.à/ ^d'9 ^èl Oi^ ov ov
Pour que le plan soit osculateur à la courbe correspondant à une certaine relation entre u et r, il faut que
Adar -^ B dy -\- Cdz =0, A d^x H- B d^-y -^Cd^z^^ o.
La première de ces équations est vérifiée en vertu des deux précédentes. La seconde se réduit à
1 "^ du dç -h ^ dv^ Ou ov ov^
G r^ é/aî 4- 2 ^-^ du dv L Ou^ du Ov
