du dv ou Ov
dv^]
dvA r-.
Pour avoir Téquation différentielle cherchée, il n*j a qu'à éliminer A, B, C entre les équations (6) et (7). On a ainsi
du^
du^
dv^ . .
d^f , , O^f , 0. — -^ du dv -f -~ '^" Ou Ov Ov^
Ou
Ov
ta deuxième et la troisième colonne se déduisant de la première en remplaçant/* successivement par <p et ^.
24. Dans les surfaces réglées, un premier système de lignes asjmptotiques s'aperçoit immédiatement : ce sont les génératrices rectilignes. La section normale correspondant à une génératrice, étant cette génératrice, a, en effet, un rayon de courbure infini. Nous reviendrons tout à l'heure sur la détermination du second système de lignes asymplotiques d'une surface réglée. Pour le moment, bornons-nous aux surfaces réglées dont toutes les génératrices rencontrent deux droites fixes D et Dj. On peut d'abord faire une
4o8 APPLICATIO!CS GÉOIÊTIIQCES DU CALCUL INFI5ITÊSI1AL.
transformation homographîque, telle que la droite D| soit rejetée à TinGni parallèlement à un plan fixe P. La transformée de la surface est alors un conoïde admettant le plan P pour plan directeur; nous sommes donc ramené à la recherche des lignes asymptotiques d^un conoïde.
Si l'on prend le plan directeur pour plan des xy et la droite D pour axe des j, l'équation du conoïde est de la forme
On peut poser
En substituant dans Téquation du paragraphe précédent, on trouve, en supprimant le facteur rfr qui correspond aux génératrices du conoïde,
d'où, en intégrant,
C étant une constante arbitraire. Donc les projections des lignes asymptotiques du conoïde sur le plan des xy ont pour équation
25. Voici une seconde classe assez étendue de surfaces dont on peut trouver, par des quadratures, les lignes asymptoliques. Elle a été signalée par M. Jamet (*). Il s'agît des surfaces représentées en coordonnées homogènes par l'équation
où y est une fonction homogène de x et ^', et F une fonction homogène de z et de /, les degrés d'homogénéité étant, bien entendu, les mêmes. Les surfaces considérées par M. Jamet se ramènent immédiatement aux surfaces représentées par l'équation
(S) xf(^Çj = ¥{z).
(•) V. Jamet, Sur les courbes et les surfaces tétraédrales {Annales de VÈcote Anormale supérieure, 1887).
Les lignes asymplotiques de cette surface s'obtiennent sans peine . Si Ton pose - = ii, on a
/iu)--uf (u) F(z)
P= wi — : ' •'^^T'.»
/'(u ) ub^(z)
en substituant dans IVquation
dp dx -^ dq dy = o,
on trouve de suite
La recherche des lignes asymptotiqiies est donc ramenre à des quadratures.
Une application intt^ressantc du résultat précédent consiste à rechercher les lignes asvmptotiques de la surface tétraédrale
e-r-(ir-ar-
Nous ne diminuerons pas la généralité en prenant la surface sous la forme
qui n'est qu'une transformée homographique de la précédente : elle rentre évidemment dans le type (S). En appliquant la formule trouvée, nous aurons, pour les lignes asjmptotiques,
M 2 rfa z^^ d z
~\~^ii'"~ "" \-\-z»^ '
et, si l'on pose u* = u'^ z^ ^- r', l'équation devient
du' dv^
ou
,-, = const.,
relation algébrique entre z et u (on suppose m entier). Les lignes
4lO APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL INFLMTÉSIMAL.
asymptoliques de la surface tétraédrale sont donc algébriques, comme Tavail déjà signalé par une autre voie M. Sophus Lie.
On trouverait aussi aisément les lignes asymptotiques de la surface
dont Téquation rentre dans le type (S).
