AV
= / /<i(J-, a-^OAa)€£rH-r,, | r J < £.
Aa
On peut en outre écrire, d'après la seconde condition, si Aa est suffisamment petit. Donc
- - = / /ol{T, 2)(ix
/a(.r, a)rfj^ diffère de / fai'^- 0L)dx de moins de c. Par
suite la différence entre - et celte dernière intégrale n'atteint pas 3s, si Aa est suffisamment petit; ce qui nous donne enfin
qui est la règle de différentialion précédemment établie.
20. On vérifiera facilement que les conditions précédentes sonl remplies pour l'intégrale
Mil)-. J (ix, (a>o).
Do plus cette intégrale est une fonction continue de a, même pour a tendant vers zéro par valeurs positives. Pour le voir nettement, nous procéderons comme au § 17 : on construit la courbe représentée par l'équation
et on considère l'intégrale comme une série alternée. Si Ton prend
INTÉGRALES DÉFÎMES. 35
seulement dans cette série un nombre limité n de termes, le reste est moindre en valeur absolue que le premier terme négligé. Or, pour n suffisamment grand et a^o, ce terme est aussi petit qu'on veut; d'autre part, la suite limitée de termes est une fonction évidemment continue de a, même pour a = o. Par conséquent TinlégraleV(a) est une fonction continue de a(a>o) même pour a= o. Ceci posé, pour calculer V(a), nous calculerons d'abord l'intégrale
qui s'obtient immédiatement : en intégrant successivement deux fois par parties, il vient
/ e-^'9>\iïx cix = - / e-'^co^x dx^
puis
/ e-^^ cosxdx — / e-''^'%\ïix dx.
Les deux relations précédentes donnent
donc
~dOL
- arctang- :
nous prenons Tare tang compris entre — - et -I-7; la constante
d'intégration est nulle, puisque V tend vers zéro quand a grandit indéfiniment.
Cette formule, établie pour a>o, subsiste encore pour a =: o, d'après ce que nous avons dit de la continuité de da fonction V. On trouve ainsi l'intégrale importante
ax — - •
VI. — Intégrales d'une fonction complexe d'une variable réelle.
21. Nous n'avons considéré jusqu'ici que des fonctions réelles de variables réelles. Ce n'est que dans le second Volume que nous
nous occuperons du cas où la variable est complexe; mais Textenlion delà notion d'intégrale définie au cas d'une fonction complexe d^une variable réelle se fait immédiatement.
On entend par fonction complexe F(jr) de la variable réelle jr, une expression de la forme
On aura, par déjinitiony
Ç F(x)dx= I f{x)dx-\-i f ^(x)dr.
Il n'y a donc pas de théorie particulière à ces intégrales, qui se ramènent aux intégrales déjà étudiées. M. Darboux (Tbi/r/ia/ rf#' Mathématiques y 18^6) a donné une formule intéressante analogue à celle que nous avons rencontrée quand V{x) est une fonction réelle : dans ce dernier cas, si if{x) désigne une fonction positive de fl à 6, on a
f ¥{x)^{x)dx=¥{\) Ç ^{x), a<\<b.
M. Darboux a montré comment on devait modifier cette formule dans le cas d'une fonction complexe. Le résultat auquel il est parvenu peut s'établir comme il suit. Soit
ï— / V{x)^i^x)dx— I f{xy\>{x) dx-=r i f o{x)'}^{x)dXj
A(x) étant positif entre a et 0.
On aura
inodK / /P{x)-^^f*{x)^(x)dx=^p(^)-ho\l) / ^x)dx,
nous écrivons d'abord que le module d'une somme est plus petit que la somme des modules, et nous appliquons ensuite la formule relative aux fonctions réelles.
On a donc
inodI = ev//HO-H?*(?) / Hx)dx, o<e<i,
da
OU
modl = 6 modF(Ç) / ^{x)dx, et par suite, si a désigne Targumenl de I,
i ^;(x)e/x = Oe'^«-P>F(Ç) / ^(x)dx,
en appelant ^ l'argument de F($), puisque modF($) = /l^* ^* donc nous posons
il vient finalement
X étant une quantité dont le module est au plus égal à l'unité. Le cas où la fonction F(x) est complexe se distingue du cas où elle est réelle par la présence de ce facteur \.
22. La démonstration donnée pour la formule de Taylor au moyen de l'intégration par parties généralisée, s'applique sans aucune modification au cas d'une fonction complexe F(j;), et on a encore
F(ir,) = F(aro)-4-(ar, — aro)F'(a?o)-+-...
Le reste pourra, en appliquant la formule de M. Darboux, se mettre sous la forme
^^' 1.2. . .(/l-hl)
i étant compris entre Xo et X|, et X désignant une quantité complexe de module au plus égal à l'unité.
