VI. — Lignes asymptotiques de certaines surfaces réglées
26. Nous avons dit qu'un système de lignes asymptoliques d'une surface réglée était formé par les génératrices rectîlignes. La reclierche du second système se ramène à Tintégration d'une équation célèbre, dont nous aurons plus tard à faire une étude approfondie.
Traçons sur la surface réglée considérée une courbe arbitraire et désignons par (^i, J^i, Zi) les coordonnées d'un point variable de cette courbe qui seront des fonctions d'un paramètre /, et soient a, ^, Y les cosinus directeurs de la génératrice passant en (JC| , J'i , 3|) qui seront des fonctions de t. Nous aurons, pour un point quelconque de la surface,
^ = r,H-/a, jr = Yi-r- /^, Z = Zi-^l^,
l désignant la dislance du point (^, J', z) au point (:ri,j'n Zt). Les coordonnées x, y, z d'un point arbitraire de la surface sont doncdès fonctions des deux paramètres / et t.
L'équation différenlielle des lignes asymptoliques sera donc
d^Xx ,d^(x\ . - doi ,
-» . ■+- l -7-r ) dt^ ■+- 9. ,- dl dt dt^ dn I dt
dxx , d%
—r -^ l-r dt dt
la seconde et la troisième colonne se déduisant de la première en remplaçant a et x^ par p et j'i, puis par y et ;;|.
En supprimant le facteur dt^ qui correspond aux génératrices rectîlignes, nous obtenons l'équalion
dt
COURBES TRACÉES SUR UNE SURFACE. f\ I 1
P, Q, R étant des fonctions déterminées de t. Une telle équation différentielle est connue sous le nom à!' équation de Biccati.
De la forme de l'équation précédente, nous allons déduire une propriété des lignes asjmptotiques de la surface.
Considérons quatre solutions quelconques /|, l^^ /s, l\ de cette équation; on aura
dt
dh dt
-f-r/î-i-Q/i-hR = o,
dt
En éliminant P, Q, R entre ces quatre équations, il vient
di^ dt
dt^ dt
dt, dt
dfj, dt
lî
Or le premier membre est la dérivée de
On aura donc
-i ,- : -Y — T =-■ const.
Or cette expression, représente le rapport anharmonique des quatre points de rencontre d'une génératrice de la surface avec les quatre lignes asjmptotiques considérées. Par conséquent, ce rapport anharmonique est constant, quelle que soit cette génératrice.
27. Nous allons nous borner maintenant au cas où l'on connaîtrait sur la surface deux lignes asvmptotiqucs. Il est facile de voir
4i2 APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL INFINITÉSIMAL.
que, dans ce cas, une seule quadrature est nécessaire pour trouver toutes les lignes asymptotiques de la surface. On peut procéder de la manière suivante :
Désignons par jjl le paramètre dont dépend la position d'une génératrice. Soient alors, en employant les coordonnées homogènes,
X = Ml, y = Mj, z = Ml, / = M^
les équations de la première ligne asymptotique, les M étant des fonctions de jjl. Soient de même
les équations de la seconde ligne asymptolique, les N étant aussi «les fonctions de |jl. La position d'un point quelconque sur la génératrice peut être fixée par les équations
r=Mt-i-vN|, >^ = M8-+-vN,, 5 = Mj-+-vN„ f = Mv-4-vNk.
La relation différentielle entre ix et v donnant les lignes asymptotiques de la surface pourra s'écrire
Ni
lu
du
~^ duL
dix*
d^M t diL*
d*Mj
diL*
rfjx
rf.a
ih
rfN,
dv-
rfix
df.
rfa
rfN»
diL d\L
diL*
dix*
Les hypothèses faites sur les lignes M et N permettent de la simplifier. On a, en effet,
Nt
NU
dii*
tfSU
dix*
rf^Mj
dx
tiix*
dW^
dii*
el
Ni
Nt
<fSt
dSj, dx
dix*
d*^ i dix»
COURBES TRACÉES SUR UKE SURFACE. I\l3
L^quation différentielle se réduit alors, comme on le voit très aisément, à
dix
djMi-hJ^i) dj.
diM. -^N,) dix
rfKMi-4-^i)
dix^
r/jji
^|ji
rfN,
é/Mj
rfN,
e/jx
rfx"
La recherche des lignes asjmptoliqnes est donc ramenée à une seule quadrature.
28. Une classe particulière de surfaces réglées va nous donner l'occasion d'appliquer les remarques précédentes. Considérons les surfaces réglées dont les génératrices appartiennent à un complexe linéaire.
Reprenant les notations du § 18 (Chap. XI), nous aurons, pour définir une droite, les six coordonnées homogènes
L, M, N, X, Y, Z (LX-f-MYH-NZ = o).
Si ces six coordonnées sont fonctions d'un paramètre arbitraire, la droite engendrera une surface réglée.
Supposons que les génératrices de cette surface appartiennent à un complexe linéaire, c'est-à-dire qu'on puisse déterminer six constantes A, B, C, D, E, F telle que Ton ait, pour toute valeur du paramètre (Chap. XI, § 18),
AL H- BM -+- CN -h DX 4- liY -i- FZ = o.
Considérant donc une telle surface, je prends sur elle une génératrice arbitraire G. Le plan tangent à la surface en un point de G ne sera pas, en général, le plan correspondant à ce point dans le complexe ou le plan polaire du point. Sur chaque génératrice, il y a seulement deux points jouissant de cette propriété. Considérons, en effet, un plan variable passant par G. Le pôle de ce plan et son point de contact forment sur cette droite une division homographique : les points doubles de cette homographie sont les
4l4 APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL INFINITÉSIMAL.
points pour lesquels le plan polaire est en même temps le plan tangent à la surface. Il est clair que, sur chaque génératrice, ces points seront donnés par une équation du second degré.
Le lieu des points ainsi obtenus forme sur la surface une courbe C. Les tangentes de C font partie du complexe linéaire, car la tangente en un point quelconque de cette courbe est une droite du plan tangent passant par le foyer de ce plan.
La courbe C est une ligne asymptotique de la. surface. En effet, les tangentes de cette courbe faisant partie d'un complexe linéaire, le plan polaire de chaque point est le plan osculateur de la courbe d'après le théorème de M. Appell (Chap. XH, § 26); le plan osculateur à la courbe en chaque point coïncide donc avec le plan tangent à la surface, ce qui est la définition d'une ligne asymptotique.
Soit un plan quelconque P. Si A est un point où P rencontre la courbe C, le plan polaire de A ou, ce qui est la même chose, le plan langent en A à la surface devra passer par le foyer F du plan P : donc la droite FA est tangente en A à la section faite par P dans la surface.
Kéciproqueraent, soit A le point de contact d'une tangente menée à cette courbe par le foyer F. Le plan mené par AF et la génératrice de la surface passant en A est tangent en ce joint à la surface. D'autre part, le pôle de ce plan est le point A, puisque AF et la génératrice passant en A sont deux droites du complexe; A est donc un point de la courbe C que nous étudions. Ainsi les points où celle-ci rencontre le plan P sont les points de contact des tangentes menées par le foyer F du plan à la section qu'il fait dans la surface.
Ce résultat est particulièrement intéressant quand la surface est algébrique. La ligne C est alors algébrique et l'on peut énoncer le théorème suivant :
La courbe C est d'un degré égal à la classe d'une section plane quelconque de la surface.
29. Ainsi sur toute surface réglée dont les génératrices appartiennent à un complexe linéaire, nous pouvons obtenir immédiatement, par un calcul purement algébrique, une ligne asymplo-
COURBES TRACÉES SUR UNE SURFACE. 4l5
tique; de plus, et c'est là un point important, cette ligne rencontrant chaque génératrice en deux points, nous devons la compter pour deux. Par consé([uent, la recherche des lignes asjniptotiques de toute surface réglée, dont les génératrices appartiennent à un complexe linéaire, dépend d^ une seule quadrature (*) (§27).
Il peut arriver que les génératrices d'une surface réglée appartiennent à une infinité de complexes linéaires. Une ligne asymptotique correspond alors sur la surface à chacun de ces complexes: on a, dans ce cas, toutes les lignes asymptotiques.
Reprenons les surfaces réglées dont les génératrices rencontrent deux droites fixes D| et D^. Nous avons déjà trouvé leurs lignes asymplotiques, en les transformant homographiquemenl en un conoïde.
La remarque précédente permet de les obtenir sans calcul. En effet, les droites rencontrant deux droites fixes D| et D2 font partie d'une infinité de complexes linéaires; on le voit de suite en remarquant que la condition de rencontre de deux droites représentées par les coordonnées
L, M, N, X, Y, Z, L|, Mj, -N], A|, i|, Zi
se réduit à
L\, -i- L, X -i- M Yi -+- M, Y H- NZi -+- N, Z = o,
comme on s'en assure en écrivant simplement ((ue les deux droites se rencontrent. En désignant donc par (L| , M| , • , .), (L2Ï Ma, . . .) les coordonnées de D| et Do, une droite quelconque (L, M, . . .) rencontrant ces deux droites vérifie la relation
L(Xi-/X5)-(L,-^XLj)X -r- M( Y,-XY,)-h(Mi-^XM,)Y
— X7Zi-T-XZj)-f-(N, -r-XN,)Z = o,
où Âest une constante arbitraire. Or cette relation représente l'é- ([uation d'un complexe dépendant de l'arbitraire A. Il y a donc
(•) Voir mon Mémoire sur une application de la théorie des complexes linéaires à l'étude des sur/aces et des courbes gauches {Annales d3 l'École Normale y 1877).
4lO APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL I.NFl.MTÉSIXAL.
bien une ioflnilé de complexes linéaires auxquels apparliennenl toutes les droites rencontrant les deux droites fixes D| et D2.
En particulier, toute surface réglée dont les génératrices rencontrent D| et Da aura ses génératrices appartenant à une infinité de complexes linéaires dépendant d^un paramètre arbitraire. A chacun de ces complexes correspond une ligne asjmptotique, et l'ensemble des lignes asymptotiques se trouve ainsi obtenu; nous voyons de plus, que les lignes asymplotiques de notre surface possèdent la remarquable propriété d'avoir pour tangentes des droites appartenant à un complexe linéaire.
Appliquons ces résultats aux surfaces réglées du troisième ordre. Nous avons déjà étudié (Chap. XI, § H) quelques-unes de leurs propriétés. Toutes les génératrices rencontrent deux directrices D< et D^; on peut donc trouver leurs lignes asymptotiques. Celles-ci seront évidemment algébriques, et nous allons avoir leur degré en appliquant le théorème du paragraphe précédent. Il est égal à la classe d'une section plane quelconque de la surface. Or une telle section est une cubique ayant un point double, puisque la surface a une courbe double rectiligne; sa classe sera donc égale à quatre. Nous voyons donc que les lignes asymptotiqites dhtne surface réglée du troisième ordre sont des courbes du quatrième degré, et les tangentes de ces courbes appartiennent à un complexe linéaire, variable d'ailleurs d'une courbe à l'autre. Ces courbes jouissent donc (Chap. XII, §2o) de la propriété remarquable que, par un point A quelconque de l'espace, on peut leur mener quatre plans osculateurs, et les quatre points de contact sont dans un plan passant par A.
30. La recherche analytique des lignes asymptotiques d'une surface réglée du troisième ordre n'offre aucune difficulté. Nous avons fait ce calcul d'une manière générale pour les conoïdes; or nous avons vu que l'équation d'une surface du troisième degré peut, par une transformation homographique, être ramenée à la forme
<7.r' -»- 7 h.ry -^ cy^
a'-r*-i- 'ib' ay -\- c' y^
En restant dans le cas général, une nouvelle transformation permet de supposer que le dénominateur se réduit à xy\ nous
COIRBES TRACÉES SUR CJXE SURl^ACE. 4^7
avons donc
z = c- -\- ib -\- a - \
le second membre est une fonction de - • Appliquant la formule
trouvée pour les conoïdes, nous aurons, comme projections des lignes asymptotiques sur le plan des xv,
C étant une constante arbitraire. Il est aisé de vérifîer que la courbe dans Tespace est du quatrième degré, comme nous Tavons trouvé plus haut.
Nous pouvons de plus indiquer une propriété de ces lignes asymptotiques que nous n'avons pas encore signalée : elles sont unicursates. Soit, en effet ^ = tx; nous aurons
z = et -{- 'ib -i — ,
Or on peut exprimer / en fonction rationnelle d'un paramètre!
de manière que y/c^^ — a soit aussi une fonction rationnelle de ce nouveau paramètre; la courbe est donc unicursale.
31. Pour donner un exemple d'une surface réglée dont les génératrices appartiennent à un seul complexe linéaire, considérons la surface définie par les équations
^ ^ AX-t-B AX-^B AX-hB
les A et les B désignant des polynômes arbitraires du ^eco/irf degré par rapport à un paramètre [x. Ces expressions de x^ y^ z en fonction de deux paramètres \ et [x définissent une surface réglée : les génératrices correspondent à [x = const. Cette surface est du quatrième degré ^ pour le voir, il suffit de chercher l'intersection de cette surface avec une droite quelconque
nxx-\-ny-\-pz-\-q =o
miar-+- n,^ 4-/>i5 -4- ^i = o; P. - I. 2-
4l8 APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL INFINITÉSIMAL.
on a alors les deux équations en A et a
X(ni Aj -4- /i Xf-h p Aj ~ <7 A) -h m Mi -+- /i Bj -~/> Bs-h 7 B = o, X(/?îiA,H- /ij Ai-T-/>i A3-1- ÇiX) -'r- nix Bi-h AiiBj-hy?! Ba-h ^iB = o.
L^éliminatlon de \ donne une équation du quatrième degré en u ; nous avons donc quatre points de rencontre delà surface avec une droite quelconque.
Les équations (8) défioissent donc une surface unicursale du f]uatriènie degré. Toute section plane delà surface est une courbe unicursale du quatrième degré et a par conséquent trois points doubles; la surface considérée a pour courbe double une cubique gauche.
11 est d'ailleurs bien facile de voir que, réciproquement, toute surface du quatrième ordre ajant pour courbe double une cubique gauche est nécessairement une surface réglée unicursale. Prenons, en effet, un point quelconque sur la surface; on peut par ce point faire passer une sécante double de la cubique gauche : cette droite rencontrant la surface en cinq points est tout entière sur elle. D'autre part, chaque génératrice est déterminée individuellement, une section plane quelconque de la surface étant une courbe unicursale. On peut montrer de plus qu'une telle surface peut être représentée par les équations (8) (Clebscu, Math. Annalen, 1870), mais c'est un point sur lequel je ne m'arrête pas.
Considérant donc la surface réglée représentée par les équations (8), nous allons voir que ses génératrices appartiennent à un complexe linéaire. 11 nous faut, pour cela, chercher les six coordonnées (L, M, N, X, Y, Z) d'une génératrice. Celle-ci passe par
les deux points
/Al A, A3\ /B, B, B,\
(.X'T'TJ' (,¥'¥' BV'
donc on peut prendre
X = ABi — A,B, Y = AB,- AjB, Z = AB3- AjB,
et, en partant de
L=^Z 4;Y, M = ;;X-^Z, N=.rY-^X,
on pourra prendre
L = AjBa— AjB,, M = AjB,— A1B3, N = AjBj- A,B|.
COURBES TRACÉES SUR UNE SURFACE. \l^
On voit donc que L, M, N, X, Y, Z sont des polynômes du quatrième degré en [x; de là nous concluons de suite qu'on pourra déterminer six constantes a, 3, y, o, £, Tj telles quePidenlité
aL 4- ?M -H yN -h SX -f- sY H- r.Z = o,
soit vérifiée. En écrivant cette identité, on obtient en effet cinq relations homogènes et linéaires entre (a, ^, . . ., yj). Il y aura donc toujours un complexe, et, en général, un seul auquel appartiendront les génératrices de notre surface.
D'après ce qui a été expliqué plus haut, nous pourrons trouver sur cette surface une ligne asymptotique rencontrant chaque génératrice en deux points. Cette courbe est algébrique, et son degré est égal à la classe d^une section plane quelcon([ue de la surface; or cette section plane étant une courbe du quatrième degré unicursale est de sixième classe. Notre ligne asymptolique est donc une courbe gauche du sixième degré. Les autres lignes asymptotiques de la surface s'obtiendront par une seule quadrature; en général, elles ne sont pas algébriques, et la discussion complète montre que leur recherche se ramène à une intégrale elliptique.
