CARTES GÉOGRAPHIQUES

I. — Expression du carré de l'élément d'arc sur une surface. i . Soit une surface définie par les trois équations

Le carré de la distance de deux points infiniment voisins cor respondant aux valeurs (e/, r) et (w + du^ v -\- dv) des paramètres sera

ds^ = dx* -+- dy^ -f- dz^

on pourra l'écrire

ds^ = E du'^-^r iY dudv-^G dv^,

en posant

^ dx dx dy r)y dz dz "" du àv du ôv du àv '

La forme quadratique binaire en du et rfr

K du^ -i-iF du dv -+- G dv^

joue, depuis Gauss, un rôle fondamental dans la théorie des surfaces ; on a évidemment F^ — EG<;o.

On peut considérer sur la surface les deux familles de courbes

u = const. et v = const.

Par tout point (//, r) passe, en général, une courbe de la première famille et une courbe de la seconde \ l'angle 6 de ces deux courbes est donné par la formule

rosO =

dx ùx dy dy ùz ôz Ou dç du âç du Ov

\/ m - m' H^r vw- (ty - m

et, par conséquent,

COS6 = — ,r=r'

En particulier, les lignes u = const. et r = const. seront orthogonales si F = o.

î2. Considérons maintenant deux surfaces 5 et S ; on suppose ([lie les coordonnées d'un quelconque de leurs points sont exprimées à l'aide des deux mêmes paramètres u et v. Une correspondance se trouve ainsi établie entre les points des deux surfaces. Cherchons à quelles conditions l'angle de deux lignes quelconques de la première surface sera égal à l'angle des deux lignes correspondantes de la seconde. Soient

(s) ds^ = e du^ H- xj du dv -f- g dv^y

(S) dsi = E du^-r- ^F du di^ -^ G dç^

les carrés des éléments d'arcs sur l'une et l'autre surface.

Nous prenons sur s un triangle abc et son correspondant ABC sur S (Jiff' 20). Ces deux triangles ont des angles égaux par hypothèse : supposons-les infiniment petits. Les deux triangles rectilignes abc et ABC auront leurs angles égaux à des infiniment petits près. Pour fixer les idées, supposons que le côté bc et, par suite, son correspondant BC soient seuls mobiles, se rapprochant indéfiniment de a et de A ; on aura

,. ac ,. ab ''"' AC = '■"' ÂB •

f\22 APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL INFINITÉSIMAL.

en d'autres Icrmcs, le quotient

e du^-^- 'ifdu dv ->t- g dv^ K du^ -h 2 F du dv -+- G t/i*

ne dépendra pas de du et rfr, ce qui entraîne ]c^ relations

E ■" F G ' Kéciproquemenl, quand cetle condition est remplie, les angles

Fi g. 20.

sonl bien conservés. Reprenons, en efTel, les deux triangles recli lignes abc et ABC ; on aura

Oc = <tb -+- ac — 'lab . ac cos

(ba^).

Bg' = AB'-f-AG*— ïAH.ACcosCbAg)

Or, puisque, d'après les hypothèses,

il en résulte que

,. ac .. ab .. bc

'""âc=='""â»='""bc'

liin bac ^ limBAG

c'est-à-dire que les courbes corresj)ondantes se coupent en ^ et A sous le même angle.