Un cas très remarquable est celui oii

Alors les distances sont aussi conservées sur les deux surfaces.

SLRFACES APPLICABLES. 4^3

On dil qu elles sont applicables rune sur Vautre, Par suite, deux surfaces applicables Tune sur Tautre sont deux surfaces entre les points desquelles on peut établir une correspondance telle que deux arcs correspondants quelconques aient même longueur.

Prenons quelques cas particuliers. Supposons que ds^ ait la forme

K et G ne dépendant que de //. Nous allons montrer que, dans ce cas, la surface est applicable sur une surface de révolution con- \enableraent choisie. En prenanl pour axe des z Taxe d'une surface de révolution, ses points ont pour coordonnées

r = z cosO, j'= p sin6,

Pour une lelle surface, on a

(2) ds^ = dx^-\ dy^-hdz*- = [n- cp'î(p)] i/p^n- pî é/O».

Il est toujours possible de choisir o(p) de telle sorte que les surfaces correspondant aux éléments (i) et (q) soient applicables Tune sur Tautre.

Posons

r = et G(m) = p*.

Cette dernière relation définit // en fonction de jo el, par suite, K{u)clu' prend la forme A(o)rfp^. Pour identifier (i) et (2), il n'y a qu'à déterminer ©(p) par la relation

n-cp't(p) = ^(p) ou ?(p) = /V'KP)'— ~'<^-

La surface correspondanl à (i) est donc applicable sur une surface de révolution.

Comme cas particulier, supposons que la surface donnée soit un hélicoïde gauche à plan directeur, c'est-à-dire la surface réglée lieu des normales menées à un cylindre de révolution en tous les points d'une hélice tracée sur ce cylindre. On aura, pour cette

surface, ,

x = MCOSi>, y = us'inVf z ^ av^

a étant une constante. Donc

Nous sommes donc bien dans le cas étudié plus haut. Posons, conformément à ce qui précède,

i; = 6, a*-h w' = p*, il vient

donc

<p(p) = «log[|-^^(|)'-.],