I - /(ÎF

équation d'où l'on conclut

f-e « j = — [e^-^e**] [puisque z = ^(p)].

La méridienne de la surface de révolution sera donc une chaînette tournant autour de sa base. Nous avons ainsi cette élégante proposition, qui n'est d'ailleurs qu'un cas particulier d'un théorème plus général dû à Bour ( * ) :

L'hélicoïde gauche à plan directeur est applicable sur la surface de révolution engendrée par une chaînette tournant autour de sa base.

4. Une classe très intéressante de surfaces est formée de sur-

(') Voir le Traité de Calcul différentiel de M. Bertrand.

faces applicables sur un plan. Nous allons montrer que ces surfaces sont développables, en suivant la méthode donnée par M. O. Bonnet. Prenons, comme paramètres, les deux coordonnées rectangulaires a et ^ dans le plan sur lequel est applicable la surface. Les coordonnées x^ y^ z d'un point quelconque de la surface sont des fonctions de a et 3, et Ton a

ce qui entraîne les trois identités

àx dx dy dy dz âz __

Or, en difTérentiant ces trois identités successivement par rapport à a et à ^, la comparaison des équations obtenues donne de suite

ÔOL^

OOL^

OolO^

OoLÔ'p

OoLà^

àa d^ da d^ da d^

Des deux premières égalités, on conclut que les trois fonctions

de a et p

dx ôy dz

doL d% OoL

sont fonctions de Tune d'entre elles ; de même, en vertu des secondes égalités,

àx ùy ùz

sont aussi fonctions de l'une d'elles. Par suite, en vertu de la relation

dx dx dy dy dz dz

dOL d^ ' doL d'p "*■ dT. d'^ ~"'

42() APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES lir CALCUL INFINITÉSIMAL.

ces ,s7> dérivées partielles sont fonctions d'un même paramètre. Or on a

dz Ox ôy

ôi = ^ éi -^ ^ ai'

dz f)x à y

p et q étant, comme d^habitude, les dérivées partielles de z par rapport à a: et à v. Il en résulte que /? et y sont fonctions d'un même paramètre, c'est-à-dire que/? est fonction de q, La surface est donc développable,

5. Démontrons que, réciproquement, toute surface développable est applicable sur un plan. Nous considérons la surface dévcloppable comme le lieu des tangentes à une courbe gauche -, X, Vî ^ désignant un point arbitraire P de cette courbe gauche, et ./•i,^', , Z\ les coordonnées d'un point quelconque P| de la génératrice tangente au point P à la courbe, on a

/ représente évidemment la distance PP<, et nous regardons ;r, r, V, ainsi que les trois cosinus a, p, y, comme fonctions de l'arc s de Tarêle de rebroussemcnt. On a, pour le carré ds\ d'un arc de la surface,

^*î — dx\ 4- dy\ -i- dz\,

n, en se rappelant que

H« ~" ds^ '

nous avons

dsl^ids-^-dly^l^'^

Le rayon de courbure K est une fonction de 5. Il faut montrer que ds'^ peut se mettre sous la forme du carré de l'élément d'arc

dans un plan. Ecrivons, à cet cfTcl,

ds

j = ^ds^di-^ii^j(^ds-^df^i'-^)

où / est le symbole ordinaire des imaginaires.

Aucun de ces deux facteurs n'est une différentielle totale exacte par rapport à 5 et /. Mais

'J K Uis-^di-r- i-v.- )

est la différentielle totale de

/eJ R -T- / eJ n ds.

Désignons cette fonction de / et de ^ par A -}- iB, A et 13 étant des fonctions réelles de / et .v. On aura

^A -¥- idn — r J n (^ds-hdl -^ 1 p - ) '

d\ — iVB = e".! k" [ds -^d/-i~\

et, par conséquent,

ds\^d\*--^dn^,

ce qui démontre bien que la surface, est applicable sur un plan. Le développement du calcul va nous conduire à un résultat intéressant. Posons

r' ds / K ^ ''

on aura alors pour A et B

A — /cOSŒ-;- / C0S7 ds,

M = /sin fj -r- I si

sîn 9 ds,

A et B représentent les coordonnées rectangulaires dans le plan sur lequel on applique la surface, et les formules précédentes résolvent complètement le problème de l'application de la surfîice

sur le plan. Or considérons la courbe C| obtenue en faisant / = o ; elle correspond à Tarête de rebroussement C de la surface développable. Cette courbe C| est donnée par les équations

L'arc élémentaire ds^ de C| est égal à Tare ds de C, puisque

ds\ = d>L\-^dh\=zds^.

Nous avons déjà rencontré ces expressions de A| et B|, lorsque nous avons calculé les coordonnées des points d^une courbe plane dont le rayon de courbure est donné en fonction de l'arc (Chap. XII, §H).

Nous en pouvons conclure que les rayons de courbure de la courbe plane C| et de la courbe gauche C aux points correspondants sont les mêmes. Ainsi, quand on applique une surface développable sur un plan, son arête de rebroussement se transforme en une courbe plane et les rayons de courbure sont conservés. Enfin, comme on a

cos (j = -,— > sin (j = -j— } dsi dsi

les génératrices de la surface deviennent les tangentes à la courbe C| dans le plan. Ces divers résultats sont à peu près évidents géométriquement.