Étant donnée la forme quadratique

ds^= E du^ -\- 2F du dç -h G dv*,

où E, F, G sont des fonctions de u et i^, proposons-nous de reconnaître si elle correspond à une surface développable, c'està-dire si elle peut être ramenée à la forme

En décomposant ds^ en un produit de deux facteurs, qui seront d'ailleurs nécessairement imaginaires conjugués, on peut

écrire

ds^ = {a du -f- b di>){a' du -f- b' dv) = (d\-h id\){d\ — id\).

Il devra donc exister un facteur |jl, fonction de //et r, tel que

\L{adu-^bdv) et -{a du-^ b' dv)

soient des différentielles totales exactes. Posons a = ef\ les équations

dt> au

deviennent

Ov Ou

df , àf ùb ùa Ov Ou Ou Ov

Ov Ou Ov Ou

Elles donnent les expressions de

à/ àf

> et -^ Ou Ov

Ou ' Ov

en fonctions connues de // et r : soit -j^ = P, -j^ = Q. Nous n'aurons plus qu'à vérifier si -p = -y^«