II. — Représentation conforme d'un plan sur un plan
7. Considérons deux plans rapportés aux coordonnées rectangulaires {x^y) et (X, Y); on établit une correspondance entre les ])oints de ces plans, soit
D'après ce qui a été vu au § 2, la condition nécessaire et suffisante pour que cette transformation consente les angles est que
dV-\- dY^=z\{dx^-^ dy^),
i>i .%PPLU:aTI05S GÉOXÉTIIQCES DC TALCIL I\FI5IT£$IXaL.
/. élant indépendant des difl'érentieiles, cesl-à-dire ne dépendant «|uc de xet V-
Fxrivons plus explicitement ct:tte condition; elle re\ient aux deux relations
fjjr 0y ' 0x fJy
Telles sont les deux équations que doivent vérifier les (onctions V et i^. On peut les simplifier, car la seconde donne
t)jr Ox
0(1 dP'
Oy oy
\iï valeur commune de ces rapports est
OV X * "i f)i^ . «
et est égale, en vertu de la première équation, à rz i . On a donc, soit
*oit
ov __ f)q ov *)(}
Ox Oy Oy f)x
oP __oq *^'* u ^^v
~ôx Oy t)y Ox
<'t, pour passer du second système au premier, il suffit de changer Q en — Q. Nous pouvons donc nous borner au premier système
àP oq
Ox Oy
OP oq
Oy Ox
Nous retrouverons bientôt ce système qui joue, en Analyse, un rôle considérable. Si P et Q satisfont à ces deux relations, la transformation
\ = Pix,y), Y^q{x,y)
conserve les angles; on donne souvent le nom de représentation conforme d'un plan sur un plan aux transformations du tvpe prérédenl.
Nous avons laissé de coté le second système que nous avions rencontré. Géométriquement, on passe du second système au premier, en prenantla symétrique de la figure transformée par rapport à Taxe OX.
8. La remarque suivante nous sera, plus tard, très ulile. Soit une fonction V(j:, y), satisfaisant à Téquation
On fait la transformation conforme
x = P(\, Y), .K = Q(X, Y), V devient une fonction de X et Y ; elle satisfait à V équation
Pour s'en assurer, il suffit de vérifier la relation
d\i '■ OY^ ~ l\0\) "^ \0y) J \â^ '^'à/*)'
en calculant, d'après les règles élémentaires, les dérivées d'unr fonction composée. On vérifiera aussi que
iôx) -U) 7 [(ôx) -( Jy) \[{t.)^{^) \-
9. Un exemple intéressant de transformation conservant les angles nous sera donné par la considération du système d'ellipses et d'hyperboles homofocales
Si A^>c^, on a une ellipse, et si X^<^c^ une hyperbole. Fai-
sons r = I, et considérons les courbes
: h -- — = I avec X*>i (ellipses),
lli "^ zizr: = ' (o < [X» < I ) ( hyperboles}.
Si l'on suppose que x ely sont positifs, à toute valeur de X* et a* correspond un point (x^y). On a d'ailleurs, en résolvant,
et de là résulte Or, si l'on pose
V''X«— I v^i — fx
on aura
donc la correspondance entre (x^y) et (a, p) conserve les angles. On a, d'ailleurs,
p = arc sinfx,
et, par conséquent, en remplaçant X et [a par leurs valeurs en x ctp,
l X = -ie^-h e-«)sin3,
|^=-(e»-e-«)cos?.
On vérifiera que cette transformation rentre dans leBecond tjpe. Quand le point (a, ^) décrit dans son plan une parallèle à un des axes, le point (x, y) décrit une ellipse ou une hyperbole; toutes ces ellipses et hyperboles sont homofocales. Nous allons en déduire facilement une propriété remarquable de ce système, mais commençons par définir ce que Lamé entend par courbes isothermes.
10. On démontre, dans la Théorie mathématique de la chaleur, que, si les points d'un plan sont en équilibre de température, c'està-dire si la température V en chaque point est simplement fonction des coordonnées x ety de ce point, et non du temps, cette fonction V(a:, y^ satisfait à Téquation
Pour un certain état d'équilibre de température, une famille de
courbes
'f («r, ^) = const.
est dite isotherme, si pour tous les points de chacune de ces courbes la température est la mémo; celle-ci variera d'ailleurs d'une courbe à l'autre. Pour que les courbes ç = G soient isothermes, il faut et il suffit qu'il existe une fonction de ^ satisfaisant à Téquation (4), puisque V(j:, y) doit être une fonction de '^. Cherchons la condition pour qu'il en soit ainsi; soit
V = V(cp).
En substituant dans l'équation (4), on a
ce que nous écrirons
Le premier membre ne dépend que de '^ ; il doit en être de même du second. Or © étant donné, on peut former ce second membre; la condition nécessaire pour que la famille (p =i G soit isotherme est que ce second membre se réduise à une fonction de ^, Gette condition est aussi suffisante, car, si elle est remplie, la relation précédente permet de trouver la fonction V(«)) par une quadrature.
Montrons (\\iune transformation conservant les angles trans-
forme une famille de courbes isothermes en une autre famille de courbes isothermes.
Ainsi nous effectuons sur j* et y une transformation de la nature de celles que nous avons considérées plus haut
on a une famille de courbes isothermes
elle se transforme en la famille
il faut montrer que la famille 4> = C est aussi isotherme. Nous avons vu en effet (§ 8) que
el que
mH?>y -m - mm * {%!]■■
par suite, en divisant
d\^ d\^ __ d.r^ djrt
m- m {iïAtr
Si donc le second membre est une fonction de (p, nous sommes assuré que le premier sera une fonction de ç et, par coUvSéquent, de 4>. Les courbes 4> = C sont donc isothermes.
11. Revenons aux ellipses et aux hyperboles homofocales étudiées au § 9. La transformation (3) qui transforme les angles transforme ces ellipses et ces hyperboles en deux systèmes de
droites
a = const., p = const.
Or ces systèmes de droites forment évidemment des systèmes isothermes. Nous avons donc, par suite, ce théorème de Lamé :
Les ellipses et les hyperboles homofocales forment un système de courbes orthogonales et isothermes.
