III. — Quelques exemples de représentation conforme

Sur les substitutions linéaires.

12. La théorie des fonctions d^ine variable complexe nous donnera des systèmes de fonctions V{x^y) et Q(^, ^) permettant de réaliser une représentation conforme. Sans anticiper sur des généralités qui auront leur place au commencement duTomell, bornons-nous à prendre une fraction rationnelle de z^ ^{^)y Jcs coefficients dans cette fonction rationnelle étant des quantités réelles ou imaginaires. Posant alors

nous pouvons mettre F(5) sous la forme

P et Q étant des fonctions rationnelles réelles de x et y. Or, en dérivant successivement les deux membres de Pidentité

F(5) = p(a',r)-4-tQ(a7, r)

par rapport à x et à^, on a

On conclut de là

1,, ^ àV .dq

,/àP j.^\ ^^^-^ \dx âx / '^ dy dy

et, par suite,

<^P dQ

dx ~ dy

. — ^^ - • ày dx

La transformation

conservera donc les angles. Celte transformation, en posant X 4- i\ = Z, peut s'exprimer par Punique égalité Z =/(z),