Nous allons étudier le cas particulièrement simple où
a^ 6, c, d étant quatre constantes réelles ou imaginaires. Nous avons alors a substitution linéaire exprimée par Tégalité
CZ -h a
faisant correspondre le point (X, Y) au point (jr^y). Montrons que cette transformation est susceptible d'une interprétation géométrique.
Soit d'abord considérée la substitution
Z = az.
En posant
Z = Re'û, z = re'^, a = Ae'»,
on aura
R = Av, il = (0 -t- a.
Pour avoir le transformé d'un point ou plus généralement d'une figure, il suffira donc de prendre son bomotliétique par rapport à l'origine avec k pour rapport d'homothétie et de faire tourner d'un angle a autour de l'origine.
Un second cas particulier encore plus simple est celui où l'on a
la transformation équivaut manifestement à une translation égale et parallèle à la droite joignant Torigine au point représentant la quantité imaginaire b.
Arrêtons-nous encore sur le cas particulier où
On a alors
Le point (X, Y) est donc le symétrique par rapport à Ox du point transformé de (x^ y) par rayons vecteurs réciproques (Rr=.).
On voit aisément que la transformation générale
„ az -+- b
peut être obtenue en combinant les transformations précédentes ; on peut, en effet, écrire
CZ -Jr a
Si donc on fait successivement les transformations successives
on réalisera la transformation cherchée, en employant seulement les cas particuliers indiqués.
14. ^ transformation (5) transforme une circonférence en une autre circonférence, La démonstration est immédiate, puisque chacune des transformations partielles transforme un cercle en un cercle; le fait est évident pour Thomothétie et la translation, et, pour la transformation par rayons vecteurs réciproques, c^est un théorème bien connu. Il est d'ailleurs facile de démontrer directement cette proposition. Partons, à cet effet, d'une forme souvent utile, de Téquation du cercle. On va désigner dans la suite, d'une manière générale, la quantité imaginaire conjuguée d'une grandeur par la même lettre affectée de l'indice zéro; ainsi
Ceci posé, Téquation de tout cercle peut s'écrire
(6) z^u -H As -h Ao^o-H B = o {z-=x -\- iy),
A étant une quantité complexe et B étant réel. Cette équation
438 APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DU CALCUL l.'fFINITÊSIMAL.
revient en effet à
Si donc nous voulons chercher le transformé du cercle (6) par
la substitution (5), nous n^avons qu^à remplacer z par sa valeur
en fonction de Z; or on a pour z une expression de la même
forme
et, en substituant dans (2), la relation devient
£â£âQ — i— A £â -7- A g £âQ — r- D ^ O ,
B' étant rcel; ce sera donc encore l'équation d'un cercle.
15. Nous allons maintenant particulariser encore davantage, en supposant que a, 6, Cj d sont réels, et que, de plus,
ad — bc = \,
Des substitutions de cette forme se présentent dans plusieurs théories importantes. Nous représenterons la substitution
az -h b "* ~~ cz -^ d
par la notation
i' az-^b\
[-^TTTd)'
qui exprime que l'on remplace z par — ^ — •
Cette substitution transforme en lui-même le demi-plan situé au-dessus de Taxe Ox des quantités réelles, c'est-à-dire qu'à tout point de ce demi-plan correspond un point du même demi-plan. En effet, de Tégalilé
, a{x-r- iy)-\-b
c(x-+- iy)-^d on tire de suite
(cj:-T-rf)«-hc*^« •
^ est donc de même signe que >\ A un point de Taxe Ox correspond un point de la même droite. La substitution transformera
évidemment aussi en iui-mémc le demi-plan situé au-dessous de Ox; nous ue considérons dans la suite que le demi-plan supérieur, c'est-à-dire les points correspondant à^>>o.
Considérons un cercle ayant son centre sur Ox et par conséquent orthogonal à cette droite; la substitution le transformera en un autre cercle qui devra être orthogonal à la transformée de Oj:, c'est-à-dire à Oj:. Par suite, le cercle transformé aura encore son centre sur l'axe des x. En particulier, toute droite perpendiculaire à Ox se transformera en un tel cercle.
16. Soit une suite indéfinie de substitutions, toutes de la forme
az
(Oy by c, d réels et ad — ic = i). On dit qii^ elles forment un groupe^ quand, deux substitutions quelconques étant prises dans cette suite et effectuées successivement, on retombe sur une substitution faisant partie de la suite. On a surtout étudié le cas où toutes ces substitutions peuvent être obtenues en composant un nombre fini d'entre elles, c'est-à-dire en faisant le produit d'un nombre quelconque de puissances positives ou négatives de certaines substitutions en nombre fini. Par puissance positive d'une substitution, on entend cette substitution faite un certain nombre de fois successivement; pour définir les puissances négatives, il faut seulement définir la puissance — i d'une substitution. S désignant une substitution, on entend par S~* la substitution inverse donnant z' en fonction de z par la relation
az' -\- h c z -i- a
de sorte qu'en faisant à la suite la substitution S et la substitution S~*, on retombe sur la substitution identique (>3, z).
Le groupe ainsi formé est dit discontinu dans le demi-plan, quand, A étant un point arbitraire de ce demi-plan en dehors de l'axe réel, il n'existe pas, dans le groupe, de substitution transformant  en un point différent de  et dont la distance à celui-ci soit moindre qu'une quantité donnée à l'avance si petite qu'elle soit. M. Poincaré a fait la théorie de ces groupes, qu'il a appelés
groupes fuchsiens ('), el a donné la loi générale de leur formation.
C'est dans la théorie des fonctions elliptiques que s'est rencontré autrefois le premier groupe Tuchsien. Ce groupe, formé de
substitutions
/ az -f- ^\
où a^ by c^ d sont entiers, a fait l'objet des recherches de M. Hermite {Mémoire sur la théorie des équations modulaires). L'étude complète des groupes linéaires à coefficients entiers a été faite par M. Klein dans ses mémorables études sur les fonctions modulaires; elle est du plus grand intérêt pour la théorie de la transformation des fonctions elliptiques (^).
17. Nous allons nous borner à quelques remarques essentielles sur le groupe formé par les substitutions
011 r/, b^ c, cfsont quatre entiers réels quelconques satisfaisant à
la relation ad — bc = i.
Tout d'abord il faut montrer que ce groupe est bien discontinu.
La relation
donnant
cz -t- d
on voit que, si le dénominateur
|Y-^|<£, {ex -h dy^-T- r'j'*
est inférieur à — =^- — : les entiers c et d ne peuvent donc avoir
(•) H. PoiNGARÉ, Théorie des groupes fuchsiens {Acta mathematicOf l. I).
(•) F. Klein, Voriesungen ùber die Théorie der eUiptischen Modulfunctionen.
qu^uQ nombre limité de valeurs. D'autre part, si
az
cz
fn
I r, I étant, comme s, inférieur à un nombre déterminé 1res pelit,
mod {az -^ h)
ne dépassera pas une limite facile à calculer^ a et 6 ne pourront donc aussi avoir qu'un nombre limité de valeurs. Les substitutions à considérer étant en nombre fini, il ne pourra y avoir de substitution transformant z en une valeur qui en diffère d'aussi peu qu'on veut. Le groupe est donc discontinu.
Le raisonnement précédent suppose essentiellement que y est différent de zéro, c'est-à-dire que le point z n'est pas sur l'axe réel.
Pour les points de l'axe réel, au contraire, le groupe n'est pas discontinu. C'est ce dont on peut facilement se rendre compte en considérant la substitution du groupe
{\-\-ac)z — a^
c*-z -H I — ac
a et c désignant deux entiers quelconques. Cette substitution
peut s'écrire
