HC

cZ — a cz — a

Si donc, partant d'un point z arbitraire, on répète cette substitution un nombre infini de fois, on aura un nombre infini de points tendant vers le point

Or, si z est réel, tous les points ainsi obtenus sont réels. On a,

par suite, dans le voisinage de - > un nombre infini de points cor-

respondants, ce qui est en opposition avec l'hjpothèsc que le groupe serait discontinu sur l'axe réel.

18. Le groupe discontinu qui précède conduit à partager le demi-plan en un nombre infini de triangles : c'est cet inléres-

44^ APPLICATIO.XS GÉOMÉTRIQLES DU CALCUL I!VFINITÉSIMAL.

sanl résultat que je voudrais indiquer. Je le rattacherai à la théorie arithmétique de la réduction des formes quadratiques définies; il nous faut donc d'abord ouvrir une parenthèse pour établir, avec Lagrange, la notion de forme quadratique réduite. Soit une forme quadratique

f{x, y) = ax^^ibry -4- cy^,

où a, />, c sont des quantités réelles quelconques satisfaisant au\

inégalités

a > o, c > o, 6* — ac < o,

ce qu'on exprime en disant que la forme est définie et positii-e^ Concevons qu'on effectue sur x eX y toutes les substitutions à coefficients entiers positifs ou négatifs

X = zx -\~ ^y y -^ Yx'h- ly

', j (a$-PY = i);

on aura ainsi une infinité de formes quadratiques qu'on dit équi- \'a lentes à la première, dans lesquelles les coefficients de x^ et j'sont évidemment positifs et dont le discriminant est le même. jNous voulons, parmi toutes ces formes équivalentes, en rechercher une ou plusieurs jouissant de propriétés spéciales.

A cet effet, prenons d'abord, dans l'ensemble des formes équivalentes, celles où le coefficient de x^ est le plus petit possible ; dans les formes ainsi mises à part, prenons la forme ou les formes où le coefficient de y^ est lui-même le plus petit possible. Nous allons montrer qu'en appelant

F = \x^-\- iBxy •+- Cy^

une telle forme, on a nécessairement

La première inégalité est évidente, puisque, si elle n'était pas vérifiée, on n'aurait qu'à faire la substitution

pour avoir une forme dans laquelle le coefficient de x'^ serait plus petit que celui de x^ dans F, ce qui est contre l'hypothèse.

Pour établir la seconde inégalité, faisons la substitution

T ^= x' — *xy' I

( jx o'ntior quelconque ),

la forme deviendra

A(^'i- 2 11^'^-'-+- fxv'») -^ -iByix'- p.y) -4- cy*;

donc on a

ce qui entraine

I^es coefficients des formes F satisferont donc aux deux inégalités indiquées (7); on donne le nom de formes réduites aux formes satisfaisant à ces conditions.

Si l'on pose

B*— AC=-D (D>o),

on a, pour une forme réduite,

donc Ainsi