B«1AG— B» = D
lion
l'^Ul/T *ît A»|AC = AG — B«-hB«
<ionc
Les coefficients A et B sont donc limités en fonction du discriminant D qui est le même pour toutes les formes équivalentes.
Nous allons établir qu'en général il n'existe, dans un système de formes quadratiques équivalentes, qu'une seule forme satisfaisant aux conditions (7). Supposons, en effet, qu'il existe deux formes équivalentes satisfaisant à ces conditions
\x*-¥'2Bxy-+-Cjrt et A';r*-h iB'a?^ -h C>*,
telles qu'on ait à la fois
ASC, a|B|^A, A'^C, 2|B'|1A'.
444 APPLICATIO!VS GÉOMÉTRIQCBS DU CALCUL ITCFIMTÊSIMAL.
Soil A' la plus petite des quantités A et A'. Écrivons donc d^où nous concluons
Je suppose que la substitution à coeffîcients entiers
(x, jr, tx H- ^y, ^x -f- ly) (ao — ^^ = transforme la première forme en la seconde. On a
Or
et, puisque
il en résulte
A'= Aa^-^aBaY-i-Cf*,
B'= Aa? -4- B(ao -+- py) -f- Cyo.
AA'=(Aa-+-BY)*H-DY»,
AA'l^D,
Oi
soit Y = o, soil Y=— '• I" Prenons d'abord l'hypothèse Y = o, alors a = 3 =:±^ i ; donc
A = A', B' = iizAp-i-B.
|B'|<— = - et |B|£-.
Pour qu'on ait B' — B = db A^, la valeur de p ne peut être que o, it: 1 .
Si p = o, on a B'= B, et les formes coïncident.
Si 3 ==h I , on a B'= — B =zh — ^ d'où les deux formes
2" Supposons maintenant que y = ±i. Dans les calculs qui suivent, les signes supérieurs correspondront à l'hypothèse Y =-h I , les signes inférieurs à y = — i . On aura
A'= Aa«±2Ba-f-C;
or
A'gA£C,
donc
et comme
ce qui entraîne il en résulte
[Ydr suite
A a* =b 5i B a ^ o, Aa' ih aBa = o,
A'=G, donc A=A'=C.
La relation Aa-di aBa = o entraîne soit a = o, soit %^ r= i^ puisque 2 |B| ^ A.
Si a égale zéro, on aura, en se reportant à la valeur de B',
B'h-B=±:AÔ, vA comme
il en résulte que Ton a
soit 0* = o, soit o* = i.
Dans le premier cas, la forme (A', B', C) ne diffère de la forme {A, B, C) que par le signe du second coefficient. Dans le second cas, la relation
B't__A'C'=B«-AG
donne
(— B =h Ao)« — AC'= B« - AC,
d'où l'on déduit
r/=2Aq:aB8 = 2(A=pBS).
Or
B' = -B=tAo
et, par suite,
C' = d:2B'5 (puisque o»= i).
Mais, comme la forme (A', B', C) est réduite, on a
<!t, par suite,
ihaB'SâA'.
Cette inégalité est impossible puisque 2|B'|^A'. On a donc,
dans la forme (A', B', C),
Si OL^ 9 gale V unité j on a
aB =z^ Aa.
En se rcporlani à la valeur de B', il vient
B'-hB^ Aa3, el comme
on ne peut avoir que ^ r:= o ou jï^ . ,
Dans le premier cas, la forme (A', B', C) ne diffère de (A, B, C) que par le changement de signe du terme moyen.
Dans le second cas, puisqu'ici | B| =^^î on aura
2lB'| = A'.
C^est la même conclusion que plus haut.
De celle discussion résulte la conclusion suivante : Dans un système de formes définies positives équivalentes, il n existe qu\inc réduite
sauf dans le cas où l'on a
soit A = C, soit 2 I B I = A.
Le calcul ci-dessus enseigne, dans ces cas, à former les réduites équivalentes. (
