Revenons maintenant au groupe de substitutions linéaires

- -- 1 ( ad — oc =z i).

cz-^d/

aj bj c, d étant des entiers. Je rattacherai de la manière suivante Tétude de ce groupe à la théorie de la réduction des formes quadratiques exposée dans le paragraphe précédent. En posant

z = x-hiy,

la partie réelle ae , sera

ac{x^'\-y^)'\-(ad -h bc)T ■+■ bel

et le carré de son module est égal à

a'^{x^-\-y^) -h labx -+- b^ c- ( 07* -h y^ ) -h icdx -+- c^'

J'envisage la forme quadratique aux indéterminées X et Y

(F) X«-+-2xXY-^-(j-«-H7«)Y»,

j^, j' ayant des valeurs déterminées {y>o). Si Ton effectue sur cette forme la substitution

(X, Y, d\-^b\, cX-+-aY), elle devient

[r«( J^'-Hy«) -f- icdx-\-d^] X«-h 2 [(a-*-!-7«) ac-^{ad'^bc)T-ir bd] XY

-4- [a^(x^-^y^)-^ labx -h b^] Y».

Or on peut choisir les entiers «r, 6, c, d {ad — bc = i) de manière que cette forme soit réduite; on aura alors

ct(x*-i-y^) -+- icdx -\- rf*< a*(a:*-4-^') -h labx -\- b^. I (x^-^y^) ac -h (ad -^ bc)x -^ bd i

Donc, en choisissant convenablement les entiers a. fe, c. d, le

module de — — -5 sera plus grand que l'ijinité, et sa partie réelle

sera comprise entre et H- -•

On peut encore dire qu'<> tout point z du demi-plan correspond, par une substitution convenable du groupe, un point dans le triangle forme dans le demi-plan par les droites

x-=-i j:= et la circonférence a:^-h^'=i. Le troisième

sommet de ce triangle curviligne est à Finfini dans la direction de Oy. Ce triangle est dit le polygone fondamental du groupe. Au point z ne correspond d'ailleurs en général qu'un point

ii8 XPfUCtJlOyS CÏOMETBIQL'ES du ULCUL MFISITËSiail.

(larts fe triangle précédent. En cffel, si le point (j-, y) est à l'intérieur du triangle (et non sur son périmètre), la forme quadratique F est une forme réduite, et toute autre forme équivalente n'est pas une réduite, d'après le théorème du paragraphe précédent.

Les points du périmètre du triangle se correspondent deux à deux par une substitution du groupe.

La substitution

transforme le côté BB' dans le c6té CC; la substitution

transforme l'arc en AB en l'arc AC {Jîg- ai).

Si Ton fait des représentations conformes du triangle /on e^amenlal qui précède, en employant toutes les substitutions du ;;roupe, on obtiendra une infinité de triangles curvilignes dont les côtés seront des arcs de cercle normaux à Ojc. Deux quel-

conques de ces triangles ne pourront avoir d'autres points communs que des points de leur périmètre; en effet, s'il en était autrement, un tel point commun, considéré comme appartenant à

l'un OU l'autre de ces triaugles, correspondrait à deux points de Vintérieurdu triangle fondamental, ce qui est impossible, puisque deux points de l'intérieur de ce dernier triangle ne peuvent se correspondre par une substitution du groupe. Le demi-plan se trouve ainsi partagé en une infinité de triangles curvilignes y et deux quelconques de ces triangles sont la représentation conforme l'un de l'aulre (*).

20. Le point de vue auquel je me suis placé plus haut pour rattacher la théorie de la substitution

à la théorie des formes quadratiques peut être étendu pour obtenir les substitutions d'un demi-espace, qui sont les analogues des substitutions précédentes (^).

Il nous faut auparavant indiquer la façon dont M. Hermite a généralisé la notion de forme quadratique, en considérant des formes quadratiques à indéterminées conjuguées. M. Hermite donne ce nom aux formes telles que

AXXo-+- BXYo^- BoXo Y -h CYYo,

dans laquelle X et Xq ainsi que Y et Yq sont deux variables complexes conjuguées. Les coefficients A et C sont réels et Bq est la conjuguée de B. Si l'on effectue sur X et Y une substitution

\ = d\'-\-b\\ Y = cX'-f-aY',

a, 6, c, d étant des quantités complexes, et si l'on a soin d'effectuer sur Xo et Yo la substitution conjuguée

Xo = <^oXq h- OoYq, Yo — Co X'o -H aoY'o,

(•) Outre l'ouvrage déjà cité de M. Klein, on pourra consulter sur ce sujet le Mémoire de M. Dedekind : Ueber die elliptischen Modul-Functionen (Journat de C relie, t. 83).

(') E. Picard, Sur un groupe de transformations des points de l'espace situés du même côté d'un plan {Bulletin de la Société mathématique f i884).

^5o APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES Dt CALCUL INFIMTÉSIXAL.

la forme donnée se transforme en une autre de même nature. 11 y

a encore un invariant analogue à celui des formes réelles : c'est

l'expression

BBo — AC

Quand celle-ci est négative et que A^o, C^>o, la forme est encore dite définie et positive.

Ces remarques faites, j'envisage la forme suivante, qui va remplacer la forme F du § 19,

XXo-- j-XYo — a?oXoY -H (j"j*o — ^*) YYo,

où X désigne une quantité complexe arbitraire et y une quantité réelle positive.

La substitution à coefficients complexes quelconques

(X, Y, d\-^b\, cX-^^Y) (ad—bc^x) la transforme en

A'XXo-f-B'XYo-T-BoXoY-i G'YYo,

eu posant

A' =- rco ( XTys -■- y^) -^ dc^ r -Jr- d^cx^-h- dd^ ,

B' — caQ{xx^-\-y^)-\- a^dx -h cboXo -r- db^^

G' — aaQ{xxo-^y^) -+- baoX -f- b^ax^ -r- bb^.

On est ainsi conduit à une transformation relative à la variable complexe t et à la somme xXq-^ y^^ substitution qui peut s'écrire

/ , c<To( yj-pH-^'*) -T- a^dx -^ cb(,X(, — db^

\ ~~ ccq^xxo -^ }'-)-(- dc^x -^ dç^cx^-T- dd^ '

i , aaoixxQ-^ v^)-^ baoX -^ b(iaxo-h bbc

CCoixXo-^jr^) -r- dc^x H- d^CXo H- dd^

A un svstème de valeurs de la quantité complexe x et de la quantité positive^' correspond par ces formules un système parfaitement déterminé de a/ eiy {y étant positif comme r). D'après la manière même dont cette substitution a été obtenue, il est manifeste que le produit de deux de ces substitutions, correspondant aux valeurs a, 6, c, d et a', b\ </, rf' (ad — bc~-^a'd'— b'c'= i), sera encore une substitution de même nature.

On peut donner une forme géométrique au résultat précédent.

Soient OÇ, Otj, Ot^ un système d'axes rectangulaires et considérons le demi-espace situé au-dessus du plan des Çy) (t^>>o). A chaque point (Ç, r,, !^) correspond un système de valeurs de la quantité complexe x et de la quantité positive j^, si l'on pose

et réciproquement.

ar=:J-^«7l, y=r

La substitution (S) donne donc une transformation du demiespace en lui-même; elle est tout à fait l'analogue de la transformation du demi-plan en lui-même fournie par la substitution linéaire à coefficients réels.

C'est M. Poincaré qui a, le premier, étudié cette transformation de l'espace; il l'a obtenue par des considérations géométriques. Elle joue un rôle essentiel dans la théorie des groupes kleinéens (* ).

La méthode que nous avons suivie pour obtenir (S) rend facile Tétude du cas où a, 6, c, d sont quatre enliers complexes, c'està-dire de la forme m -f- ni (m et n entiers), satisfaisant à la relation

ad — 6c = I.

Les substitutions S forment alors un groupe discontinu. On trouve, pour ce groupe, un polyèdre fondamental limité par les quatre plans

Ç — > Ti — - ,

et la sphère

ce polyèdre est tout à fait analogue au triangle fondamental rencontré plus haut. Mais le développement de ce point m'entraînerait trop loin, et je me borne à renvoyer à mon article cité plus haut.