Considérons donc l'intégrale indéfinie

dx.

On sait, d'après la théorie delà décomposition des fractions rationnelles, que toute fraction rationnelle peut se mettre sous la

INTÉGRALES INDÉFIMES. 89

forme d'un polynôme en x^ plus une suite de termes de la forme

Aa

les quantités a étant les racines de f{x)^ et les A^ désignant des constantes. Or l'intégrale d'un polynôme est un polynôme, puisque

X"^ dx — - -

D'autre pari, on a

dx^ ( jr — a)- tt-

\x — ay*-" — a -M

dx (x — a)-*^-*

J (^ el

si a 7^1,

Toute la théorie est contenue dans ces remarques évidentes. Mais approfondissons davantage la question.

Nous allons nous préoccuper de pousser la réduction de l'intégrale le plus loin possible, en ne faisant que les opérations élémentaires de l'Algèbre, c'est-à-dire addition, multiplication et division de polynômes. Rappelons d'abord que siy(j:) a été décomposé en un produit '^i (x) X ^2 {^) X . . . X f « (x) de polynômes cp premiers entre eux, on aura

'/{x) Jd^iixj'

Supposons, en particulier, qu'ayant appliqué la théorie des racines égales nous ayons trouvé

les X désignant des polynômes dont toutes les racines sont simples: l'équation X| = o fait connaître toutes les racines simples de/, l'équation X2= oies racines doubles et ainsi de suite. On sait qu'on peut trouver les polynômes X par de simples divisions. Nous aurons donc

F(£) F,(^) F, (37) Fnjx)

/(x)- X, "^ X| ■^•••■^ XS Nous sommes ainsi, d'une manière générale, ramené à chercher

4o INTÉGRALES SIMPLES ET MULTIPLES.

rinlégrale

cpétanl un polynôme quelconque, et X un polynôme qui n'a que des racines simples.

Supposons que Fentier positif a soit supérieur à Tunilé; je dis que nous pouvons ramener la recherche de cette intégrale à une autre de même forme, mais où a sera remplacé par a — i .

Montrons en effet qu'on peut déterminer un polynôme ^{jc) tel que la différence

cp(x) d rP(.r)-l ., , , r ?«^^)