V-5ïLx-«--iJ «ou delà forme ï
Il faut et il suffit pour cela que
V désignant la dérivée de X, soit divisible par X. Supposons que X soit de degré /??, on pourra prendre I^(^) de degré m — i, de telle sorle que l'expression précédente s'annule pour les m racines de X, ce qui est possible puisque, pour ces racines, X' est différent de zéro. On aura donc à déterminer un polynôme de degré m — i qui prend pour m valeurs de la variable des grandeurs données. Mais, en présentant sous cette forme la recherche de P(j:), il semble qu'il faille résoudre l'équation X = o; en réalité, Texistence de P(j^) étant certaine d'après ce qui précède, il suffira de procéder en faisant la division, ce qui donnera des équations du premier degré pour déterminer les coefficients de P(^).
Ainsi de l'intégrale (i) nous passerons, en retranchant =7^S à
l'intégrale
"^J^^ dx
et ainsi de suite, de proche en proche, jusqu'à
pour laquelle nous ne pouvons plus évidemment continuer la ré-
INTÉGRALES INDÉFINIES. ^l
duction. Arrivé à ce point, il est nécessaire, pour achever Tintégration, de connaître les racines de Téqualion X = o.
3. Supposons que les coefficients de la fraction rationnelle soient réels et que le dénominateur X ait été résolu : portons particulièrement notre attention sur un couple de racines imaginaires conjuguées. On sait que l'on aura, pour ce couple de racines, a -h Ot\ a — bi, la somme des termes simples
Ajr-hB AiXH-Bi An-iT-i-Brt i
les A et B étant des constantes. D'après ce qui vient d'être dit,
toutes ces intégrales se ramèneront à une intégrale de même forme
que la dernière, et qu'on trouvera immédiatement en l'écrivant
sous la forme
2M(3^ — a) — aN^
M et N étant deux nouvelles constantes. Or on aura
comme on le vérifie par la différentiation ; d'autre pari,
/2 N ^ , -, T — a -T ^ cfor = 2 N arc tang — -. — :
donc finalement
'•2M(a7 — a) — 2N6 .-, (j7, — a)«-i-^« = M lo"^ ^^ —
2N arc tang — . 1- 2N arc tang — j —
formule qui ne présentera aucune ambiguité, si on ajoute que les arcs correspondant aux tangentes indiquées sont compris entre
et -h -
Nous avons écrit plus haut
dx
= log(ar— a);
ce résultat n'a, jusqu'ici, de sens pour nous que si a est réel.
Soit inaintcnant a = a + pt : nous aurons
r dx r{T — (i)dx r ^idx
~ - log[(a? — a)*-4- P*]-i- *arc tang — ^ — •
